Leysa {l}{5x+3y=30}{3x+3y=18}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 30 } \\ { 3 x + 3 y = 18 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=6$$

$$y=0$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$5x+3y=30,3x+3y=18$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$5x+3y=30$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$5x=-3y+30$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+30\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum -3y+30.

$$x=-\frac{3}{5}y+6$$

Settu -\frac{3y}{5}+6 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x+3y=18.

$$3\left(-\frac{3}{5}y+6\right)+3y=18$$

Margfaldaðu 3 sinnum -\frac{3y}{5}+6.

$$-\frac{9}{5}y+18+3y=18$$

Leggðu -\frac{9y}{5} saman við 3y.

$$\frac{6}{5}y+18=18$$

Dragðu 18 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{6}{5}y=0$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{6}{5}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=0$$

Skiptu 0 út fyrir y í x=-\frac{3}{5}y+6. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=6$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=6,y=0$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$5x+3y=30,3x+3y=18$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\\18\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}5&3\\3&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\18\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\18\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\18\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-3\times 3}&-\frac{3}{5\times 3-3\times 3}\\-\frac{3}{5\times 3-3\times 3}&\frac{5}{5\times 3-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\18\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{5}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\18\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 30-\frac{1}{2}\times 18\\-\frac{1}{2}\times 30+\frac{5}{6}\times 18\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=6,y=0$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$5x+3y=30,3x+3y=18$$

Dragðu 3x+3y=18 frá 5x+3y=30 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$5x-3x+3y-3y=30-18$$

Leggðu 3y saman við -3y. Liðirnir 3y og -3y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$5x-3x=30-18$$

Leggðu 5x saman við -3x.

$$2x=30-18$$

Leggðu 30 saman við -18.

$$2x=12$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=6$$

Skiptu 6 út fyrir x í 3x+3y=18. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$3\times 6+3y=18$$

Margfaldaðu 3 sinnum 6.

$$18+3y=18$$

Dragðu 18 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3y=0$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$y=0$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=6,y=0$$