Leysa {l}{5x+2y=17}{2x+3y=3}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = 17 } \\ { 2 x + 3 y = 3 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{45}{11} = 4\frac{1}{11} \approx 4.090909091$$

$$y = -\frac{19}{11} = -1\frac{8}{11} \approx -1.727272727$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$5x+2y=17,2x+3y=3$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$5x+2y=17$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$5x=-2y+17$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+17\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum -2y+17.

$$x=-\frac{2}{5}y+\frac{17}{5}$$

Settu \frac{-2y+17}{5} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x+3y=3.

$$2\left(-\frac{2}{5}y+\frac{17}{5}\right)+3y=3$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{-2y+17}{5}.

$$-\frac{4}{5}y+\frac{34}{5}+3y=3$$

Leggðu -\frac{4y}{5} saman við 3y.

$$\frac{11}{5}y+\frac{34}{5}=3$$

Dragðu \frac{34}{5} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{11}{5}y=-\frac{19}{5}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{11}{5}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-\frac{19}{11}$$

Skiptu -\frac{19}{11} út fyrir y í x=-\frac{2}{5}y+\frac{17}{5}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{2}{5}\left(-\frac{19}{11}\right)+\frac{17}{5}$$

Margfaldaðu -\frac{2}{5} sinnum -\frac{19}{11} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{38}{55}+\frac{17}{5}$$

Leggðu \frac{17}{5} saman við \frac{38}{55} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{45}{11}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{45}{11},y=-\frac{19}{11}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$5x+2y=17,2x+3y=3$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}5&2\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\3\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\3\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-2\times 2}&-\frac{2}{5\times 3-2\times 2}\\-\frac{2}{5\times 3-2\times 2}&\frac{5}{5\times 3-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}&-\frac{2}{11}\\-\frac{2}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}\times 17-\frac{2}{11}\times 3\\-\frac{2}{11}\times 17+\frac{5}{11}\times 3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{45}{11}\\-\frac{19}{11}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{45}{11},y=-\frac{19}{11}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$5x+2y=17,2x+3y=3$$

Til að gera 5x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 5.

$$2\times 5x+2\times 2y=2\times 17,5\times 2x+5\times 3y=5\times 3$$

Einfaldaðu.

$$10x+4y=34,10x+15y=15$$

Dragðu 10x+15y=15 frá 10x+4y=34 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$10x-10x+4y-15y=34-15$$

Leggðu 10x saman við -10x. Liðirnir 10x og -10x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$4y-15y=34-15$$

Leggðu 4y saman við -15y.

$$-11y=34-15$$

Leggðu 34 saman við -15.

$$-11y=19$$

Deildu báðum hliðum með -11.

$$y=-\frac{19}{11}$$

Skiptu -\frac{19}{11} út fyrir y í 2x+3y=3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x+3\left(-\frac{19}{11}\right)=3$$

Margfaldaðu 3 sinnum -\frac{19}{11}.

$$2x-\frac{57}{11}=3$$

Leggðu \frac{57}{11} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=\frac{90}{11}$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{45}{11}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{45}{11},y=-\frac{19}{11}$$