Leysa {l}{5x+2y=10}{4x+y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = 10 } \\ { 4 x + y = 8 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=2$$

$$y=0$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$5x+2y=10,4x+y=8$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$5x+2y=10$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$5x=-2y+10$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+10\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum -2y+10.

$$x=-\frac{2}{5}y+2$$

Settu -\frac{2y}{5}+2 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 4x+y=8.

$$4\left(-\frac{2}{5}y+2\right)+y=8$$

Margfaldaðu 4 sinnum -\frac{2y}{5}+2.

$$-\frac{8}{5}y+8+y=8$$

Leggðu -\frac{8y}{5} saman við y.

$$-\frac{3}{5}y+8=8$$

Dragðu 8 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{3}{5}y=0$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{3}{5}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=0$$

Skiptu 0 út fyrir y í x=-\frac{2}{5}y+2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2,y=0$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$5x+2y=10,4x+y=8$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}5&2\\4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\8\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\8\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-2\times 4}&-\frac{2}{5-2\times 4}\\-\frac{4}{5-2\times 4}&\frac{5}{5-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\8\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{4}{3}&-\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 10+\frac{2}{3}\times 8\\\frac{4}{3}\times 10-\frac{5}{3}\times 8\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=2,y=0$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$5x+2y=10,4x+y=8$$

Til að gera 5x og 4x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 4 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 5.

$$4\times 5x+4\times 2y=4\times 10,5\times 4x+5y=5\times 8$$

Einfaldaðu.

$$20x+8y=40,20x+5y=40$$

Dragðu 20x+5y=40 frá 20x+8y=40 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$20x-20x+8y-5y=40-40$$

Leggðu 20x saman við -20x. Liðirnir 20x og -20x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$8y-5y=40-40$$

Leggðu 8y saman við -5y.

$$3y=40-40$$

Leggðu 40 saman við -40.

$$3y=0$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$y=0$$

Skiptu 0 út fyrir y í 4x+y=8. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$4x=8$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2,y=0$$