Leysa {l}{5x+2y=0}{6x-1y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = 0 } \\ { 6 x - 1 y = 2 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=\frac{4}{17}\approx 0.235294118$$

$$y=-\frac{10}{17}\approx -0.588235294$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$5x+2y=0,6x-y=2$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$5x+2y=0$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$5x=-2y$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2\right)y$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum -2y.

$$x=-\frac{2}{5}y$$

Settu -\frac{2y}{5} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 6x-y=2.

$$6\left(-\frac{2}{5}\right)y-y=2$$

Margfaldaðu 6 sinnum -\frac{2y}{5}.

$$-\frac{12}{5}y-y=2$$

Leggðu -\frac{12y}{5} saman við -y.

$$-\frac{17}{5}y=2$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{17}{5}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-\frac{10}{17}$$

Skiptu -\frac{10}{17} út fyrir y í x=-\frac{2}{5}y. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{2}{5}\left(-\frac{10}{17}\right)$$

Margfaldaðu -\frac{2}{5} sinnum -\frac{10}{17} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{4}{17}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{4}{17},y=-\frac{10}{17}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$5x+2y=0,6x-y=2$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\6&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}5&2\\6&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\6&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-2\times 6}&-\frac{2}{5\left(-1\right)-2\times 6}\\-\frac{6}{5\left(-1\right)-2\times 6}&\frac{5}{5\left(-1\right)-2\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}&\frac{2}{17}\\\frac{6}{17}&-\frac{5}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}\times 2\\-\frac{5}{17}\times 2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{17}\\-\frac{10}{17}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{4}{17},y=-\frac{10}{17}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$5x+2y=0,6x-y=2$$

Til að gera 5x og 6x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 6 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 5.

$$6\times 5x+6\times 2y=0,5\times 6x+5\left(-1\right)y=5\times 2$$

Einfaldaðu.

$$30x+12y=0,30x-5y=10$$

Dragðu 30x-5y=10 frá 30x+12y=0 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$30x-30x+12y+5y=-10$$

Leggðu 30x saman við -30x. Liðirnir 30x og -30x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$12y+5y=-10$$

Leggðu 12y saman við 5y.

$$17y=-10$$

Deildu báðum hliðum með 17.

$$y=-\frac{10}{17}$$

Skiptu -\frac{10}{17} út fyrir y í 6x-y=2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$6x-\left(-\frac{10}{17}\right)=2$$

Dragðu \frac{10}{17} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$6x=\frac{24}{17}$$

Deildu báðum hliðum með 6.

$$x=\frac{4}{17}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{4}{17},y=-\frac{10}{17}$$