Leysa {l}{5x+2y=-16}{2x-3y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = - 16 } \\ { 2 x - 3 y = 5 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-2$$

$$y=-3$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$5x+2y=-16,2x-3y=5$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$5x+2y=-16$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$5x=-2y-16$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y-16\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum -2y-16.

$$x=-\frac{2}{5}y-\frac{16}{5}$$

Settu \frac{-2y-16}{5} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x-3y=5.

$$2\left(-\frac{2}{5}y-\frac{16}{5}\right)-3y=5$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{-2y-16}{5}.

$$-\frac{4}{5}y-\frac{32}{5}-3y=5$$

Leggðu -\frac{4y}{5} saman við -3y.

$$-\frac{19}{5}y-\frac{32}{5}=5$$

Leggðu \frac{32}{5} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-\frac{19}{5}y=\frac{57}{5}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{19}{5}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-3$$

Skiptu -3 út fyrir y í x=-\frac{2}{5}y-\frac{16}{5}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{2}{5}\left(-3\right)-\frac{16}{5}$$

Margfaldaðu -\frac{2}{5} sinnum -3.

$$x=\frac{6-16}{5}$$

Leggðu -\frac{16}{5} saman við \frac{6}{5} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-2,y=-3$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$5x+2y=-16,2x-3y=5$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-16\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}5&2\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\5\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\5\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5\left(-3\right)-2\times 2}&-\frac{2}{5\left(-3\right)-2\times 2}\\-\frac{2}{5\left(-3\right)-2\times 2}&\frac{5}{5\left(-3\right)-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\\\frac{2}{19}&-\frac{5}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}\left(-16\right)+\frac{2}{19}\times 5\\\frac{2}{19}\left(-16\right)-\frac{5}{19}\times 5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-3\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-2,y=-3$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$5x+2y=-16,2x-3y=5$$

Til að gera 5x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 5.

$$2\times 5x+2\times 2y=2\left(-16\right),5\times 2x+5\left(-3\right)y=5\times 5$$

Einfaldaðu.

$$10x+4y=-32,10x-15y=25$$

Dragðu 10x-15y=25 frá 10x+4y=-32 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$10x-10x+4y+15y=-32-25$$

Leggðu 10x saman við -10x. Liðirnir 10x og -10x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$4y+15y=-32-25$$

Leggðu 4y saman við 15y.

$$19y=-32-25$$

Leggðu -32 saman við -25.

$$19y=-57$$

Deildu báðum hliðum með 19.

$$y=-3$$

Skiptu -3 út fyrir y í 2x-3y=5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x-3\left(-3\right)=5$$

Margfaldaðu -3 sinnum -3.

$$2x+9=5$$

Dragðu 9 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-4$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=-2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-2,y=-3$$