Leysa {l}{5a+2b=18}{5a+5b=30}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 a + 2 b = 18 } \\ { 5 a + 5 b = 30 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir a, b

$$a=2$$

$$b=4$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$5a+2b=18,5a+5b=30$$

Veldu eina jöfnuna og leystu a með því að einangra a vinstra megin við samasemmerkið.

$$5a+2b=18$$

Dragðu 2b frá báðum hliðum jöfnunar.

$$5a=-2b+18$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$a=\frac{1}{5}\left(-2b+18\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum -2b+18.

$$a=-\frac{2}{5}b+\frac{18}{5}$$

Settu \frac{-2b+18}{5} inn fyrir a í hinni jöfnunni, 5a+5b=30.

$$5\left(-\frac{2}{5}b+\frac{18}{5}\right)+5b=30$$

Margfaldaðu 5 sinnum \frac{-2b+18}{5}.

$$-2b+18+5b=30$$

Leggðu -2b saman við 5b.

$$3b+18=30$$

Dragðu 18 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3b=12$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$b=4$$

Skiptu 4 út fyrir b í a=-\frac{2}{5}b+\frac{18}{5}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst a strax.

$$a=-\frac{2}{5}\times 4+\frac{18}{5}$$

Margfaldaðu -\frac{2}{5} sinnum 4.

$$a=\frac{-8+18}{5}$$

Leggðu \frac{18}{5} saman við -\frac{8}{5} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$a=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$a=2,b=4$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$5a+2b=18,5a+5b=30$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\30\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}5&2\\5&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\30\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\30\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\30\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-2\times 5}&-\frac{2}{5\times 5-2\times 5}\\-\frac{5}{5\times 5-2\times 5}&\frac{5}{5\times 5-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\30\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{2}{15}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\30\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 18-\frac{2}{15}\times 30\\-\frac{1}{3}\times 18+\frac{1}{3}\times 30\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna a og b.

$$a=2,b=4$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$5a+2b=18,5a+5b=30$$

Dragðu 5a+5b=30 frá 5a+2b=18 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$5a-5a+2b-5b=18-30$$

Leggðu 5a saman við -5a. Liðirnir 5a og -5a núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$2b-5b=18-30$$

Leggðu 2b saman við -5b.

$$-3b=18-30$$

Leggðu 18 saman við -30.

$$-3b=-12$$

Deildu báðum hliðum með -3.

$$b=4$$

Skiptu 4 út fyrir b í 5a+5b=30. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst a strax.

$$5a+5\times 4=30$$

Margfaldaðu 5 sinnum 4.

$$5a+20=30$$

Dragðu 20 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$5a=10$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$a=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$a=2,b=4$$