Leysa {l}{5(x+2)=4y}{3(y-4)=6x}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 ( x + 2 ) = 4 y } \\ { 3 ( y - 4 ) = 6 x } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-2$$

$$y=0$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 5 með x+2.

$$5x+10=4y$$

Dragðu 4y frá báðum hliðum.

$$5x+10-4y=0$$

Dragðu 10 frá báðum hliðum. Allt sem dregið er frá núlli skilar sjálfu sér sem mínustölu.

$$5x-4y=-10$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 3 með y-4.

$$3y-12=6x$$

Dragðu 6x frá báðum hliðum.

$$3y-12-6x=0$$

Bættu 12 við báðar hliðar. Allt sem er lagt saman við núll skilar sjálfu sér.

$$3y-6x=12$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$5x-4y=-10,-6x+3y=12$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$5x-4y=-10$$

Leggðu 4y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$5x=4y-10$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(4y-10\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum 4y-10.

$$x=\frac{4}{5}y-2$$

Settu \frac{4y}{5}-2 inn fyrir x í hinni jöfnunni, -6x+3y=12.

$$-6\left(\frac{4}{5}y-2\right)+3y=12$$

Margfaldaðu -6 sinnum \frac{4y}{5}-2.

$$-\frac{24}{5}y+12+3y=12$$

Leggðu -\frac{24y}{5} saman við 3y.

$$-\frac{9}{5}y+12=12$$

Dragðu 12 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{9}{5}y=0$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{9}{5}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=0$$

Skiptu 0 út fyrir y í x=\frac{4}{5}y-2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-2,y=0$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 5 með x+2.

$$5x+10=4y$$

Dragðu 4y frá báðum hliðum.

$$5x+10-4y=0$$

Dragðu 10 frá báðum hliðum. Allt sem dregið er frá núlli skilar sjálfu sér sem mínustölu.

$$5x-4y=-10$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 3 með y-4.

$$3y-12=6x$$

Dragðu 6x frá báðum hliðum.

$$3y-12-6x=0$$

Bættu 12 við báðar hliðar. Allt sem er lagt saman við núll skilar sjálfu sér.

$$3y-6x=12$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$5x-4y=-10,-6x+3y=12$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-\left(-4\left(-6\right)\right)}&-\frac{-4}{5\times 3-\left(-4\left(-6\right)\right)}\\-\frac{-6}{5\times 3-\left(-4\left(-6\right)\right)}&\frac{5}{5\times 3-\left(-4\left(-6\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&-\frac{4}{9}\\-\frac{2}{3}&-\frac{5}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-10\right)-\frac{4}{9}\times 12\\-\frac{2}{3}\left(-10\right)-\frac{5}{9}\times 12\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\0\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-2,y=0$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 5 með x+2.

$$5x+10=4y$$

Dragðu 4y frá báðum hliðum.

$$5x+10-4y=0$$

Dragðu 10 frá báðum hliðum. Allt sem dregið er frá núlli skilar sjálfu sér sem mínustölu.

$$5x-4y=-10$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 3 með y-4.

$$3y-12=6x$$

Dragðu 6x frá báðum hliðum.

$$3y-12-6x=0$$

Bættu 12 við báðar hliðar. Allt sem er lagt saman við núll skilar sjálfu sér.

$$3y-6x=12$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$5x-4y=-10,-6x+3y=12$$

Til að gera 5x og -6x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -6 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 5.

$$-6\times 5x-6\left(-4\right)y=-6\left(-10\right),5\left(-6\right)x+5\times 3y=5\times 12$$

Einfaldaðu.

$$-30x+24y=60,-30x+15y=60$$

Dragðu -30x+15y=60 frá -30x+24y=60 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-30x+30x+24y-15y=60-60$$

Leggðu -30x saman við 30x. Liðirnir -30x og 30x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$24y-15y=60-60$$

Leggðu 24y saman við -15y.

$$9y=60-60$$

Leggðu 60 saman við -60.

$$9y=0$$

Deildu báðum hliðum með 9.

$$y=0$$

Skiptu 0 út fyrir y í -6x+3y=12. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-6x=12$$

Deildu báðum hliðum með -6.

$$x=-2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-2,y=0$$