Leysa {l}{45+.25x=y}{35+.30x=y}

$$\left. \begin{array} { l } { 45 + .25 x = y } \\ { 35 + .30 x = y } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=200$$

$$y=95$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu y frá báðum hliðum.

$$45+0.25x-y=0$$

Dragðu 45 frá báðum hliðum. Allt sem dregið er frá núlli skilar sjálfu sér sem mínustölu.

$$0.25x-y=-45$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu y frá báðum hliðum.

$$35+0.3x-y=0$$

Dragðu 35 frá báðum hliðum. Allt sem dregið er frá núlli skilar sjálfu sér sem mínustölu.

$$0.3x-y=-35$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$0.25x-y=-45,0.3x-y=-35$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$0.25x-y=-45$$

Leggðu y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$0.25x=y-45$$

Margfaldaðu báðar hliðar með 4.

$$x=4\left(y-45\right)$$

Margfaldaðu 4 sinnum y-45.

$$x=4y-180$$

Settu -180+4y inn fyrir x í hinni jöfnunni, 0.3x-y=-35.

$$0.3\left(4y-180\right)-y=-35$$

Margfaldaðu 0.3 sinnum -180+4y.

$$1.2y-54-y=-35$$

Leggðu \frac{6y}{5} saman við -y.

$$0.2y-54=-35$$

Leggðu 54 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$0.2y=19$$

Margfaldaðu báðar hliðar með 5.

$$y=95$$

Skiptu 95 út fyrir y í x=4y-180. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=4\times 95-180$$

Margfaldaðu 4 sinnum 95.

$$x=380-180$$

Leggðu -180 saman við 380.

$$x=200$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=200,y=95$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu y frá báðum hliðum.

$$45+0.25x-y=0$$

Dragðu 45 frá báðum hliðum. Allt sem dregið er frá núlli skilar sjálfu sér sem mínustölu.

$$0.25x-y=-45$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu y frá báðum hliðum.

$$35+0.3x-y=0$$

Dragðu 35 frá báðum hliðum. Allt sem dregið er frá núlli skilar sjálfu sér sem mínustölu.

$$0.3x-y=-35$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$0.25x-y=-45,0.3x-y=-35$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}0.25&-1\\0.3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-45\\-35\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}0.25&-1\\0.3&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.25&-1\\0.3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.25&-1\\0.3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.25&-1\\0.3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-45\\-35\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.25&-1\\0.3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-45\\-35\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.25&-1\\0.3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-45\\-35\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{0.25\left(-1\right)-\left(-0.3\right)}&-\frac{-1}{0.25\left(-1\right)-\left(-0.3\right)}\\-\frac{0.3}{0.25\left(-1\right)-\left(-0.3\right)}&\frac{0.25}{0.25\left(-1\right)-\left(-0.3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-45\\-35\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-20&20\\-6&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-45\\-35\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-20\left(-45\right)+20\left(-35\right)\\-6\left(-45\right)+5\left(-35\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}200\\95\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=200,y=95$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu y frá báðum hliðum.

$$45+0.25x-y=0$$

Dragðu 45 frá báðum hliðum. Allt sem dregið er frá núlli skilar sjálfu sér sem mínustölu.

$$0.25x-y=-45$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu y frá báðum hliðum.

$$35+0.3x-y=0$$

Dragðu 35 frá báðum hliðum. Allt sem dregið er frá núlli skilar sjálfu sér sem mínustölu.

$$0.3x-y=-35$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$0.25x-y=-45,0.3x-y=-35$$

Dragðu 0.3x-y=-35 frá 0.25x-y=-45 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$0.25x-0.3x-y+y=-45+35$$

Leggðu -y saman við y. Liðirnir -y og y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$0.25x-0.3x=-45+35$$

Leggðu \frac{x}{4} saman við -\frac{3x}{10}.

$$-0.05x=-45+35$$

Leggðu -45 saman við 35.

$$-0.05x=-10$$

Margfaldaðu báðar hliðar með -20.

$$x=200$$

Skiptu 200 út fyrir x í 0.3x-y=-35. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$0.3\times 200-y=-35$$

Margfaldaðu 0.3 sinnum 200.

$$60-y=-35$$

Dragðu 60 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-y=-95$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$y=95$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=200,y=95$$