Leysa {l}{41x+53y=135}{53x+41y=147}

$$\left. \begin{array} { l } { 41 x + 53 y = 135 } \\ { 53 x + 41 y = 147 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=2$$

$$y=1$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$41x+53y=135,53x+41y=147$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$41x+53y=135$$

Dragðu 53y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$41x=-53y+135$$

Deildu báðum hliðum með 41.

$$x=\frac{1}{41}\left(-53y+135\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{41} sinnum -53y+135.

$$x=-\frac{53}{41}y+\frac{135}{41}$$

Settu \frac{-53y+135}{41} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 53x+41y=147.

$$53\left(-\frac{53}{41}y+\frac{135}{41}\right)+41y=147$$

Margfaldaðu 53 sinnum \frac{-53y+135}{41}.

$$-\frac{2809}{41}y+\frac{7155}{41}+41y=147$$

Leggðu -\frac{2809y}{41} saman við 41y.

$$-\frac{1128}{41}y+\frac{7155}{41}=147$$

Dragðu \frac{7155}{41} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{1128}{41}y=-\frac{1128}{41}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{1128}{41}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=1$$

Skiptu 1 út fyrir y í x=-\frac{53}{41}y+\frac{135}{41}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{-53+135}{41}$$

Leggðu \frac{135}{41} saman við -\frac{53}{41} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2,y=1$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$41x+53y=135,53x+41y=147$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{41}{41\times 41-53\times 53}&-\frac{53}{41\times 41-53\times 53}\\-\frac{53}{41\times 41-53\times 53}&\frac{41}{41\times 41-53\times 53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{41}{1128}&\frac{53}{1128}\\\frac{53}{1128}&-\frac{41}{1128}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{41}{1128}\times 135+\frac{53}{1128}\times 147\\\frac{53}{1128}\times 135-\frac{41}{1128}\times 147\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=2,y=1$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$41x+53y=135,53x+41y=147$$

Til að gera 41x og 53x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 53 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 41.

$$53\times 41x+53\times 53y=53\times 135,41\times 53x+41\times 41y=41\times 147$$

Einfaldaðu.

$$2173x+2809y=7155,2173x+1681y=6027$$

Dragðu 2173x+1681y=6027 frá 2173x+2809y=7155 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2173x-2173x+2809y-1681y=7155-6027$$

Leggðu 2173x saman við -2173x. Liðirnir 2173x og -2173x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$2809y-1681y=7155-6027$$

Leggðu 2809y saman við -1681y.

$$1128y=7155-6027$$

Leggðu 7155 saman við -6027.

$$1128y=1128$$

Deildu báðum hliðum með 1128.

$$y=1$$

Skiptu 1 út fyrir y í 53x+41y=147. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$53x+41=147$$

Dragðu 41 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$53x=106$$

Deildu báðum hliðum með 53.

$$x=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2,y=1$$