Leysa {l}{4y-3x=8}{ax+4=2y}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 y - 3 x = 8 } \\ { a x + 4 = 2 y } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=0\text{, }y=2\text{, }&\text{unconditionally}\\x=\frac{4\left(y-2\right)}{3}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&a=\frac{3}{2}\end{matrix}\right.$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 2y frá báðum hliðum.

$$ax+4-2y=0$$

Dragðu 4 frá báðum hliðum. Allt sem dregið er frá núlli skilar sjálfu sér sem mínustölu.

$$ax-2y=-4$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$4y-3x=8,-2y+ax=-4$$

Veldu eina jöfnuna og leystu y með því að einangra y vinstra megin við samasemmerkið.

$$4y-3x=8$$

Leggðu 3x saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$4y=3x+8$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$y=\frac{1}{4}\left(3x+8\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{4} sinnum 3x+8.

$$y=\frac{3}{4}x+2$$

Settu \frac{3x}{4}+2 inn fyrir y í hinni jöfnunni, -2y+ax=-4.

$$-2\left(\frac{3}{4}x+2\right)+ax=-4$$

Margfaldaðu -2 sinnum \frac{3x}{4}+2.

$$-\frac{3}{2}x-4+ax=-4$$

Leggðu -\frac{3x}{2} saman við ax.

$$\left(a-\frac{3}{2}\right)x-4=-4$$

Leggðu 4 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\left(a-\frac{3}{2}\right)x=0$$

Deildu báðum hliðum með -\frac{3}{2}+a.

$$x=0$$

Skiptu 0 út fyrir x í y=\frac{3}{4}x+2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=2,x=0$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 2y frá báðum hliðum.

$$ax+4-2y=0$$

Dragðu 4 frá báðum hliðum. Allt sem dregið er frá núlli skilar sjálfu sér sem mínustölu.

$$ax-2y=-4$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$4y-3x=8,-2y+ax=-4$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{4a-\left(-3\left(-2\right)\right)}&-\frac{-3}{4a-\left(-3\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{4a-\left(-3\left(-2\right)\right)}&\frac{4}{4a-\left(-3\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{2\left(2a-3\right)}&\frac{3}{2\left(2a-3\right)}\\\frac{1}{2a-3}&\frac{2}{2a-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{2\left(2a-3\right)}\times 8+\frac{3}{2\left(2a-3\right)}\left(-4\right)\\\frac{1}{2a-3}\times 8+\frac{2}{2a-3}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna y og x.

$$y=2,x=0$$

Skref með útilokun

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 2y frá báðum hliðum.

$$ax+4-2y=0$$

Dragðu 4 frá báðum hliðum. Allt sem dregið er frá núlli skilar sjálfu sér sem mínustölu.

$$ax-2y=-4$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$4y-3x=8,-2y+ax=-4$$

Til að gera 4y og -2y jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 4.

$$-2\times 4y-2\left(-3\right)x=-2\times 8,4\left(-2\right)y+4ax=4\left(-4\right)$$

Einfaldaðu.

$$-8y+6x=-16,-8y+4ax=-16$$

Dragðu -8y+4ax=-16 frá -8y+6x=-16 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-8y+8y+6x+\left(-4a\right)x=-16+16$$

Leggðu -8y saman við 8y. Liðirnir -8y og 8y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$6x+\left(-4a\right)x=-16+16$$

Leggðu 6x saman við -4ax.

$$\left(6-4a\right)x=-16+16$$

Leggðu -16 saman við 16.

$$\left(6-4a\right)x=0$$

Deildu báðum hliðum með 6-4a.

$$x=0$$

Skiptu 0 út fyrir x í -2y+ax=-4. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$-2y=-4$$

Deildu báðum hliðum með -2.

$$y=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=2,x=0$$

Leystu fyrir x, y

$$\left\{\begin{matrix}\\x=0\text{, }y=2\text{, }&\text{unconditionally}\\x=\frac{4\left(y-2\right)}{3}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&a=\frac{3}{2}\end{matrix}\right.$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 2y frá báðum hliðum.

$$ax+4-2y=0$$

Dragðu 4 frá báðum hliðum. Allt sem dregið er frá núlli skilar sjálfu sér sem mínustölu.

$$ax-2y=-4$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$4y-3x=8,-2y+ax=-4$$

Veldu eina jöfnuna og leystu y með því að einangra y vinstra megin við samasemmerkið.

$$4y-3x=8$$

Leggðu 3x saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$4y=3x+8$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$y=\frac{1}{4}\left(3x+8\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{4} sinnum 3x+8.

$$y=\frac{3}{4}x+2$$

Settu \frac{3x}{4}+2 inn fyrir y í hinni jöfnunni, -2y+ax=-4.

$$-2\left(\frac{3}{4}x+2\right)+ax=-4$$

Margfaldaðu -2 sinnum \frac{3x}{4}+2.

$$-\frac{3}{2}x-4+ax=-4$$

Leggðu -\frac{3x}{2} saman við ax.

$$\left(a-\frac{3}{2}\right)x-4=-4$$

Leggðu 4 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\left(a-\frac{3}{2}\right)x=0$$

Deildu báðum hliðum með -\frac{3}{2}+a.

$$x=0$$

Skiptu 0 út fyrir x í y=\frac{3}{4}x+2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=2,x=0$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 2y frá báðum hliðum.

$$ax+4-2y=0$$

Dragðu 4 frá báðum hliðum. Allt sem dregið er frá núlli skilar sjálfu sér sem mínustölu.

$$ax-2y=-4$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$4y-3x=8,-2y+ax=-4$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{4a-\left(-3\left(-2\right)\right)}&-\frac{-3}{4a-\left(-3\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{4a-\left(-3\left(-2\right)\right)}&\frac{4}{4a-\left(-3\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{2\left(2a-3\right)}&\frac{3}{2\left(2a-3\right)}\\\frac{1}{2a-3}&\frac{2}{2a-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{2\left(2a-3\right)}\times 8+\frac{3}{2\left(2a-3\right)}\left(-4\right)\\\frac{1}{2a-3}\times 8+\frac{2}{2a-3}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna y og x.

$$y=2,x=0$$

Skref með útilokun

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 2y frá báðum hliðum.

$$ax+4-2y=0$$

Dragðu 4 frá báðum hliðum. Allt sem dregið er frá núlli skilar sjálfu sér sem mínustölu.

$$ax-2y=-4$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$4y-3x=8,-2y+ax=-4$$

Til að gera 4y og -2y jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 4.

$$-2\times 4y-2\left(-3\right)x=-2\times 8,4\left(-2\right)y+4ax=4\left(-4\right)$$

Einfaldaðu.

$$-8y+6x=-16,-8y+4ax=-16$$

Dragðu -8y+4ax=-16 frá -8y+6x=-16 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-8y+8y+6x+\left(-4a\right)x=-16+16$$

Leggðu -8y saman við 8y. Liðirnir -8y og 8y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$6x+\left(-4a\right)x=-16+16$$

Leggðu 6x saman við -4ax.

$$\left(6-4a\right)x=-16+16$$

Leggðu -16 saman við 16.

$$\left(6-4a\right)x=0$$

Deildu báðum hliðum með 6-4a.

$$x=0$$

Skiptu 0 út fyrir x í -2y+ax=-4. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$-2y=-4$$

Deildu báðum hliðum með -2.

$$y=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=2,x=0$$