Leysa {l}{4x-y=22}{3x+4y=26}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - y = 22 } \\ { 3 x + 4 y = 26 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=6$$

$$y=2$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$4x-y=22,3x+4y=26$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$4x-y=22$$

Leggðu y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$4x=y+22$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(y+22\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{4} sinnum y+22.

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{11}{2}$$

Settu \frac{y}{4}+\frac{11}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x+4y=26.

$$3\left(\frac{1}{4}y+\frac{11}{2}\right)+4y=26$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{y}{4}+\frac{11}{2}.

$$\frac{3}{4}y+\frac{33}{2}+4y=26$$

Leggðu \frac{3y}{4} saman við 4y.

$$\frac{19}{4}y+\frac{33}{2}=26$$

Dragðu \frac{33}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{19}{4}y=\frac{19}{2}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{19}{4}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í x=\frac{1}{4}y+\frac{11}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{1}{4}\times 2+\frac{11}{2}$$

Margfaldaðu \frac{1}{4} sinnum 2.

$$x=\frac{1+11}{2}$$

Leggðu \frac{11}{2} saman við \frac{1}{2} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=6$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=6,y=2$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$4x-y=22,3x+4y=26$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\26\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}4&-1\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\26\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\26\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\26\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4\times 4-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{4\times 4-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{4\times 4-\left(-3\right)}&\frac{4}{4\times 4-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\26\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{19}&\frac{1}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{4}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\26\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{19}\times 22+\frac{1}{19}\times 26\\-\frac{3}{19}\times 22+\frac{4}{19}\times 26\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=6,y=2$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$4x-y=22,3x+4y=26$$

Til að gera 4x og 3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 4.

$$3\times 4x+3\left(-1\right)y=3\times 22,4\times 3x+4\times 4y=4\times 26$$

Einfaldaðu.

$$12x-3y=66,12x+16y=104$$

Dragðu 12x+16y=104 frá 12x-3y=66 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$12x-12x-3y-16y=66-104$$

Leggðu 12x saman við -12x. Liðirnir 12x og -12x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-3y-16y=66-104$$

Leggðu -3y saman við -16y.

$$-19y=66-104$$

Leggðu 66 saman við -104.

$$-19y=-38$$

Deildu báðum hliðum með -19.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í 3x+4y=26. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x+4\times 2=26$$

Margfaldaðu 4 sinnum 2.

$$3x+8=26$$

Dragðu 8 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=18$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=6$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=6,y=2$$