Leysa {l}{4x-y=1}{2x+y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - y = 1 } \\ { 2 x + y = 4 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

$$y = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2.333333333$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$4x-y=1,2x+y=4$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$4x-y=1$$

Leggðu y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$4x=y+1$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(y+1\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{4} sinnum y+1.

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}$$

Settu \frac{1+y}{4} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x+y=4.

$$2\left(\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}\right)+y=4$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{1+y}{4}.

$$\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}+y=4$$

Leggðu \frac{y}{2} saman við y.

$$\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}=4$$

Dragðu \frac{1}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{3}{2}y=\frac{7}{2}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{3}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{7}{3}$$

Skiptu \frac{7}{3} út fyrir y í x=\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{1}{4}\times \frac{7}{3}+\frac{1}{4}$$

Margfaldaðu \frac{1}{4} sinnum \frac{7}{3} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{7}{12}+\frac{1}{4}$$

Leggðu \frac{1}{4} saman við \frac{7}{12} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{5}{6}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{5}{6},y=\frac{7}{3}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$4x-y=1,2x+y=4$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}4&-1\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{4-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{4-\left(-2\right)}&\frac{4}{4-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\times 4\\-\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\times 4\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\\\frac{7}{3}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{5}{6},y=\frac{7}{3}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$4x-y=1,2x+y=4$$

Til að gera 4x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 4.

$$2\times 4x+2\left(-1\right)y=2,4\times 2x+4y=4\times 4$$

Einfaldaðu.

$$8x-2y=2,8x+4y=16$$

Dragðu 8x+4y=16 frá 8x-2y=2 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$8x-8x-2y-4y=2-16$$

Leggðu 8x saman við -8x. Liðirnir 8x og -8x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-2y-4y=2-16$$

Leggðu -2y saman við -4y.

$$-6y=2-16$$

Leggðu 2 saman við -16.

$$-6y=-14$$

Deildu báðum hliðum með -6.

$$y=\frac{7}{3}$$

Skiptu \frac{7}{3} út fyrir y í 2x+y=4. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x+\frac{7}{3}=4$$

Dragðu \frac{7}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=\frac{5}{3}$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{5}{6}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{5}{6},y=\frac{7}{3}$$