Leysa {l}{4x-7y=23}{6x+2y=-3}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 7 y = 23 } \\ { 6 x + 2 y = - 3 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y=-3$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$4x-7y=23,6x+2y=-3$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$4x-7y=23$$

Leggðu 7y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$4x=7y+23$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(7y+23\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{4} sinnum 7y+23.

$$x=\frac{7}{4}y+\frac{23}{4}$$

Settu \frac{7y+23}{4} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 6x+2y=-3.

$$6\left(\frac{7}{4}y+\frac{23}{4}\right)+2y=-3$$

Margfaldaðu 6 sinnum \frac{7y+23}{4}.

$$\frac{21}{2}y+\frac{69}{2}+2y=-3$$

Leggðu \frac{21y}{2} saman við 2y.

$$\frac{25}{2}y+\frac{69}{2}=-3$$

Dragðu \frac{69}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{25}{2}y=-\frac{75}{2}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{25}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-3$$

Skiptu -3 út fyrir y í x=\frac{7}{4}y+\frac{23}{4}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{7}{4}\left(-3\right)+\frac{23}{4}$$

Margfaldaðu \frac{7}{4} sinnum -3.

$$x=\frac{-21+23}{4}$$

Leggðu \frac{23}{4} saman við -\frac{21}{4} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{1}{2}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{1}{2},y=-3$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$4x-7y=23,6x+2y=-3$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}4&-7\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}23\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}4&-7\\6&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-7\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-3\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-\left(-7\times 6\right)}&-\frac{-7}{4\times 2-\left(-7\times 6\right)}\\-\frac{6}{4\times 2-\left(-7\times 6\right)}&\frac{4}{4\times 2-\left(-7\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}23\\-3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{25}&\frac{7}{50}\\-\frac{3}{25}&\frac{2}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}23\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{25}\times 23+\frac{7}{50}\left(-3\right)\\-\frac{3}{25}\times 23+\frac{2}{25}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\-3\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{1}{2},y=-3$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$4x-7y=23,6x+2y=-3$$

Til að gera 4x og 6x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 6 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 4.

$$6\times 4x+6\left(-7\right)y=6\times 23,4\times 6x+4\times 2y=4\left(-3\right)$$

Einfaldaðu.

$$24x-42y=138,24x+8y=-12$$

Dragðu 24x+8y=-12 frá 24x-42y=138 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$24x-24x-42y-8y=138+12$$

Leggðu 24x saman við -24x. Liðirnir 24x og -24x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-42y-8y=138+12$$

Leggðu -42y saman við -8y.

$$-50y=138+12$$

Leggðu 138 saman við 12.

$$-50y=150$$

Deildu báðum hliðum með -50.

$$y=-3$$

Skiptu -3 út fyrir y í 6x+2y=-3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$6x+2\left(-3\right)=-3$$

Margfaldaðu 2 sinnum -3.

$$6x-6=-3$$

Leggðu 6 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$6x=3$$

Deildu báðum hliðum með 6.

$$x=\frac{1}{2}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{1}{2},y=-3$$