Leysa {l}{4x-3y-10=0}{3x+4y+5=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 3 y - 10 = 0 } \\ { 3 x + 4 y + 5 = 0 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=1$$

$$y=-2$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$4x-3y-10=0,3x+4y+5=0$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$4x-3y-10=0$$

Leggðu 10 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$4x-3y=10$$

Leggðu 3y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$4x=3y+10$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(3y+10\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{4} sinnum 3y+10.

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{5}{2}$$

Settu \frac{3y}{4}+\frac{5}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x+4y+5=0.

$$3\left(\frac{3}{4}y+\frac{5}{2}\right)+4y+5=0$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{3y}{4}+\frac{5}{2}.

$$\frac{9}{4}y+\frac{15}{2}+4y+5=0$$

Leggðu \frac{9y}{4} saman við 4y.

$$\frac{25}{4}y+\frac{15}{2}+5=0$$

Leggðu \frac{15}{2} saman við 5.

$$\frac{25}{4}y+\frac{25}{2}=0$$

Dragðu \frac{25}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{25}{4}y=-\frac{25}{2}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{25}{4}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-2$$

Skiptu -2 út fyrir y í x=\frac{3}{4}y+\frac{5}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{3}{4}\left(-2\right)+\frac{5}{2}$$

Margfaldaðu \frac{3}{4} sinnum -2.

$$x=\frac{-3+5}{2}$$

Leggðu \frac{5}{2} saman við -\frac{3}{2} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1,y=-2$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$4x-3y-10=0,3x+4y+5=0$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}4&-3\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-5\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-5\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4\times 4-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{4\times 4-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{4\times 4-\left(-3\times 3\right)}&\frac{4}{4\times 4-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}&\frac{3}{25}\\-\frac{3}{25}&\frac{4}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}\times 10+\frac{3}{25}\left(-5\right)\\-\frac{3}{25}\times 10+\frac{4}{25}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=1,y=-2$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$4x-3y-10=0,3x+4y+5=0$$

Til að gera 4x og 3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 4.

$$3\times 4x+3\left(-3\right)y+3\left(-10\right)=0,4\times 3x+4\times 4y+4\times 5=0$$

Einfaldaðu.

$$12x-9y-30=0,12x+16y+20=0$$

Dragðu 12x+16y+20=0 frá 12x-9y-30=0 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$12x-12x-9y-16y-30-20=0$$

Leggðu 12x saman við -12x. Liðirnir 12x og -12x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-9y-16y-30-20=0$$

Leggðu -9y saman við -16y.

$$-25y-30-20=0$$

Leggðu -30 saman við -20.

$$-25y-50=0$$

Leggðu 50 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-25y=50$$

Deildu báðum hliðum með -25.

$$y=-2$$

Skiptu -2 út fyrir y í 3x+4y+5=0. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x+4\left(-2\right)+5=0$$

Margfaldaðu 4 sinnum -2.

$$3x-8+5=0$$

Leggðu -8 saman við 5.

$$3x-3=0$$

Leggðu 3 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=3$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1,y=-2$$