Leysa {l}{4x-3y=5}{3x+2y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 3 y = 5 } \\ { 3 x + 2 y = 8 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=2$$

$$y=1$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$4x-3y=5,3x+2y=8$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$4x-3y=5$$

Leggðu 3y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$4x=3y+5$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(3y+5\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{4} sinnum 3y+5.

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}$$

Settu \frac{3y+5}{4} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x+2y=8.

$$3\left(\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}\right)+2y=8$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{3y+5}{4}.

$$\frac{9}{4}y+\frac{15}{4}+2y=8$$

Leggðu \frac{9y}{4} saman við 2y.

$$\frac{17}{4}y+\frac{15}{4}=8$$

Dragðu \frac{15}{4} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{17}{4}y=\frac{17}{4}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{17}{4}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=1$$

Skiptu 1 út fyrir y í x=\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{3+5}{4}$$

Leggðu \frac{5}{4} saman við \frac{3}{4} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2,y=1$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$4x-3y=5,3x+2y=8$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}4&-3\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\8\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\8\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{4\times 2-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{4\times 2-\left(-3\times 3\right)}&\frac{4}{4\times 2-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\8\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}&\frac{3}{17}\\-\frac{3}{17}&\frac{4}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}\times 5+\frac{3}{17}\times 8\\-\frac{3}{17}\times 5+\frac{4}{17}\times 8\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=2,y=1$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$4x-3y=5,3x+2y=8$$

Til að gera 4x og 3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 4.

$$3\times 4x+3\left(-3\right)y=3\times 5,4\times 3x+4\times 2y=4\times 8$$

Einfaldaðu.

$$12x-9y=15,12x+8y=32$$

Dragðu 12x+8y=32 frá 12x-9y=15 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$12x-12x-9y-8y=15-32$$

Leggðu 12x saman við -12x. Liðirnir 12x og -12x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-9y-8y=15-32$$

Leggðu -9y saman við -8y.

$$-17y=15-32$$

Leggðu 15 saman við -32.

$$-17y=-17$$

Deildu báðum hliðum með -17.

$$y=1$$

Skiptu 1 út fyrir y í 3x+2y=8. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x+2=8$$

Dragðu 2 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=6$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2,y=1$$