Leysa {l}{4x-3y=1}{5x+3y=-10}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 3 y = 1 } \\ { 5 x + 3 y = - 10 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-1$$

$$y = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$4x-3y=1,5x+3y=-10$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$4x-3y=1$$

Leggðu 3y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$4x=3y+1$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(3y+1\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{4} sinnum 3y+1.

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}$$

Settu \frac{3y+1}{4} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 5x+3y=-10.

$$5\left(\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}\right)+3y=-10$$

Margfaldaðu 5 sinnum \frac{3y+1}{4}.

$$\frac{15}{4}y+\frac{5}{4}+3y=-10$$

Leggðu \frac{15y}{4} saman við 3y.

$$\frac{27}{4}y+\frac{5}{4}=-10$$

Dragðu \frac{5}{4} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{27}{4}y=-\frac{45}{4}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{27}{4}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-\frac{5}{3}$$

Skiptu -\frac{5}{3} út fyrir y í x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{3}{4}\left(-\frac{5}{3}\right)+\frac{1}{4}$$

Margfaldaðu \frac{3}{4} sinnum -\frac{5}{3} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{-5+1}{4}$$

Leggðu \frac{1}{4} saman við -\frac{5}{4} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-1,y=-\frac{5}{3}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$4x-3y=1,5x+3y=-10$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}4&-3\\5&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{4\times 3-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{4\times 3-\left(-3\times 5\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&\frac{1}{9}\\-\frac{5}{27}&\frac{4}{27}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}+\frac{1}{9}\left(-10\right)\\-\frac{5}{27}+\frac{4}{27}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-\frac{5}{3}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-1,y=-\frac{5}{3}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$4x-3y=1,5x+3y=-10$$

Til að gera 4x og 5x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 5 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 4.

$$5\times 4x+5\left(-3\right)y=5,4\times 5x+4\times 3y=4\left(-10\right)$$

Einfaldaðu.

$$20x-15y=5,20x+12y=-40$$

Dragðu 20x+12y=-40 frá 20x-15y=5 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$20x-20x-15y-12y=5+40$$

Leggðu 20x saman við -20x. Liðirnir 20x og -20x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-15y-12y=5+40$$

Leggðu -15y saman við -12y.

$$-27y=5+40$$

Leggðu 5 saman við 40.

$$-27y=45$$

Deildu báðum hliðum með -27.

$$y=-\frac{5}{3}$$

Skiptu -\frac{5}{3} út fyrir y í 5x+3y=-10. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$5x+3\left(-\frac{5}{3}\right)=-10$$

Margfaldaðu 3 sinnum -\frac{5}{3}.

$$5x-5=-10$$

Leggðu 5 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$5x=-5$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=-1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-1,y=-\frac{5}{3}$$