Leysa {l}{4x-2y=5}{3x-4y=15}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 2 y = 5 } \\ { 3 x - 4 y = 15 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-1$$

$$y = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4.5$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$4x-2y=5,3x-4y=15$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$4x-2y=5$$

Leggðu 2y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$4x=2y+5$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y+5\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{4} sinnum 2y+5.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{4}$$

Settu \frac{y}{2}+\frac{5}{4} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x-4y=15.

$$3\left(\frac{1}{2}y+\frac{5}{4}\right)-4y=15$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{y}{2}+\frac{5}{4}.

$$\frac{3}{2}y+\frac{15}{4}-4y=15$$

Leggðu \frac{3y}{2} saman við -4y.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{15}{4}=15$$

Dragðu \frac{15}{4} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{5}{2}y=\frac{45}{4}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{5}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-\frac{9}{2}$$

Skiptu -\frac{9}{2} út fyrir y í x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{4}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{1}{2}\left(-\frac{9}{2}\right)+\frac{5}{4}$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -\frac{9}{2} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{-9+5}{4}$$

Leggðu \frac{5}{4} saman við -\frac{9}{4} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-1,y=-\frac{9}{2}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$4x-2y=5,3x-4y=15$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}4&-2\\3&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{4\left(-4\right)-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{4\left(-4\right)-\left(-2\times 3\right)}&\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\\frac{3}{10}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 5-\frac{1}{5}\times 15\\\frac{3}{10}\times 5-\frac{2}{5}\times 15\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-\frac{9}{2}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-1,y=-\frac{9}{2}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$4x-2y=5,3x-4y=15$$

Til að gera 4x og 3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 4.

$$3\times 4x+3\left(-2\right)y=3\times 5,4\times 3x+4\left(-4\right)y=4\times 15$$

Einfaldaðu.

$$12x-6y=15,12x-16y=60$$

Dragðu 12x-16y=60 frá 12x-6y=15 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$12x-12x-6y+16y=15-60$$

Leggðu 12x saman við -12x. Liðirnir 12x og -12x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-6y+16y=15-60$$

Leggðu -6y saman við 16y.

$$10y=15-60$$

Leggðu 15 saman við -60.

$$10y=-45$$

Deildu báðum hliðum með 10.

$$y=-\frac{9}{2}$$

Skiptu -\frac{9}{2} út fyrir y í 3x-4y=15. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x-4\left(-\frac{9}{2}\right)=15$$

Margfaldaðu -4 sinnum -\frac{9}{2}.

$$3x+18=15$$

Dragðu 18 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=-3$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=-1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-1,y=-\frac{9}{2}$$