Leysa {l}{4x-2y+4=0}{-4x+3y-3=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 2 y + 4 = 0 } \\ { - 4 x + 3 y - 3 = 0 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$y=-1$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$4x-2y+4=0,-4x+3y-3=0$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$4x-2y+4=0$$

Dragðu 4 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4x-2y=-4$$

Leggðu 2y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$4x=2y-4$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y-4\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{4} sinnum -4+2y.

$$x=\frac{1}{2}y-1$$

Settu \frac{y}{2}-1 inn fyrir x í hinni jöfnunni, -4x+3y-3=0.

$$-4\left(\frac{1}{2}y-1\right)+3y-3=0$$

Margfaldaðu -4 sinnum \frac{y}{2}-1.

$$-2y+4+3y-3=0$$

Leggðu -2y saman við 3y.

$$y+4-3=0$$

Leggðu 4 saman við -3.

$$y+1=0$$

Dragðu 1 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$y=-1$$

Skiptu -1 út fyrir y í x=\frac{1}{2}y-1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{1}{2}\left(-1\right)-1$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -1.

$$x=-\frac{1}{2}-1$$

Leggðu -1 saman við -\frac{1}{2}.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{3}{2},y=-1$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$4x-2y+4=0,-4x+3y-3=0$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}&-\frac{-2}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{2}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\left(-4\right)+\frac{1}{2}\times 3\\-4+3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2}\\-1\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-\frac{3}{2},y=-1$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$4x-2y+4=0,-4x+3y-3=0$$

Til að gera 4x og -4x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -4 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 4.

$$-4\times 4x-4\left(-2\right)y-4\times 4=0,4\left(-4\right)x+4\times 3y+4\left(-3\right)=0$$

Einfaldaðu.

$$-16x+8y-16=0,-16x+12y-12=0$$

Dragðu -16x+12y-12=0 frá -16x+8y-16=0 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-16x+16x+8y-12y-16+12=0$$

Leggðu -16x saman við 16x. Liðirnir -16x og 16x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$8y-12y-16+12=0$$

Leggðu 8y saman við -12y.

$$-4y-16+12=0$$

Leggðu -16 saman við 12.

$$-4y-4=0$$

Leggðu 4 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-4y=4$$

Deildu báðum hliðum með -4.

$$y=-1$$

Skiptu -1 út fyrir y í -4x+3y-3=0. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-4x+3\left(-1\right)-3=0$$

Margfaldaðu 3 sinnum -1.

$$-4x-3-3=0$$

Leggðu -3 saman við -3.

$$-4x-6=0$$

Leggðu 6 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-4x=6$$

Deildu báðum hliðum með -4.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{3}{2},y=-1$$