Leysa {l}{4x=3y}{y+3=x}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x = 3 y } \\ { y + 3 = x } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-9$$

$$y=-12$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 3y frá báðum hliðum.

$$4x-3y=0$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu x frá báðum hliðum.

$$y+3-x=0$$

Dragðu 3 frá báðum hliðum. Allt sem dregið er frá núlli skilar sjálfu sér sem mínustölu.

$$y-x=-3$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$4x-3y=0,-x+y=-3$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$4x-3y=0$$

Leggðu 3y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$4x=3y$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=\frac{1}{4}\times 3y$$

Margfaldaðu \frac{1}{4} sinnum 3y.

$$x=\frac{3}{4}y$$

Settu \frac{3y}{4} inn fyrir x í hinni jöfnunni, -x+y=-3.

$$-\frac{3}{4}y+y=-3$$

Leggðu -\frac{3y}{4} saman við y.

$$\frac{1}{4}y=-3$$

Margfaldaðu báðar hliðar með 4.

$$y=-12$$

Skiptu -12 út fyrir y í x=\frac{3}{4}y. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{3}{4}\left(-12\right)$$

Margfaldaðu \frac{3}{4} sinnum -12.

$$x=-9$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-9,y=-12$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 3y frá báðum hliðum.

$$4x-3y=0$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu x frá báðum hliðum.

$$y+3-x=0$$

Dragðu 3 frá báðum hliðum. Allt sem dregið er frá núlli skilar sjálfu sér sem mínustölu.

$$y-x=-3$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$4x-3y=0,-x+y=-3$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}4&-3\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-3\left(-1\right)\right)}&-\frac{-3}{4-\left(-3\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{4-\left(-3\left(-1\right)\right)}&\frac{4}{4-\left(-3\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&3\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\left(-3\right)\\4\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-12\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-9,y=-12$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 3y frá báðum hliðum.

$$4x-3y=0$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu x frá báðum hliðum.

$$y+3-x=0$$

Dragðu 3 frá báðum hliðum. Allt sem dregið er frá núlli skilar sjálfu sér sem mínustölu.

$$y-x=-3$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$4x-3y=0,-x+y=-3$$

Til að gera 4x og -x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 4.

$$-4x-\left(-3y\right)=0,4\left(-1\right)x+4y=4\left(-3\right)$$

Einfaldaðu.

$$-4x+3y=0,-4x+4y=-12$$

Dragðu -4x+4y=-12 frá -4x+3y=0 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-4x+4x+3y-4y=12$$

Leggðu -4x saman við 4x. Liðirnir -4x og 4x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$3y-4y=12$$

Leggðu 3y saman við -4y.

$$-y=12$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$y=-12$$

Skiptu -12 út fyrir y í -x+y=-3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-x-12=-3$$

Leggðu 12 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-x=9$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$x=-9$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-9,y=-12$$