Leysa {l}{4x+y=4}{-3x-6y=18}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = 4 } \\ { - 3 x - 6 y = 18 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=2$$

$$y=-4$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$4x+y=4,-3x-6y=18$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$4x+y=4$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4x=-y+4$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+4\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{4} sinnum -y+4.

$$x=-\frac{1}{4}y+1$$

Settu -\frac{y}{4}+1 inn fyrir x í hinni jöfnunni, -3x-6y=18.

$$-3\left(-\frac{1}{4}y+1\right)-6y=18$$

Margfaldaðu -3 sinnum -\frac{y}{4}+1.

$$\frac{3}{4}y-3-6y=18$$

Leggðu \frac{3y}{4} saman við -6y.

$$-\frac{21}{4}y-3=18$$

Leggðu 3 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-\frac{21}{4}y=21$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{21}{4}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-4$$

Skiptu -4 út fyrir y í x=-\frac{1}{4}y+1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-4\right)+1$$

Margfaldaðu -\frac{1}{4} sinnum -4.

$$x=1+1$$

Leggðu 1 saman við 1.

$$x=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2,y=-4$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$4x+y=4,-3x-6y=18$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\-3&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}4&1\\-3&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\-3&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{4\left(-6\right)-\left(-3\right)}&-\frac{1}{4\left(-6\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{4\left(-6\right)-\left(-3\right)}&\frac{4}{4\left(-6\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{1}{21}\\-\frac{1}{7}&-\frac{4}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 4+\frac{1}{21}\times 18\\-\frac{1}{7}\times 4-\frac{4}{21}\times 18\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=2,y=-4$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$4x+y=4,-3x-6y=18$$

Til að gera 4x og -3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 4.

$$-3\times 4x-3y=-3\times 4,4\left(-3\right)x+4\left(-6\right)y=4\times 18$$

Einfaldaðu.

$$-12x-3y=-12,-12x-24y=72$$

Dragðu -12x-24y=72 frá -12x-3y=-12 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-12x+12x-3y+24y=-12-72$$

Leggðu -12x saman við 12x. Liðirnir -12x og 12x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-3y+24y=-12-72$$

Leggðu -3y saman við 24y.

$$21y=-12-72$$

Leggðu -12 saman við -72.

$$21y=-84$$

Deildu báðum hliðum með 21.

$$y=-4$$

Skiptu -4 út fyrir y í -3x-6y=18. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-3x-6\left(-4\right)=18$$

Margfaldaðu -6 sinnum -4.

$$-3x+24=18$$

Dragðu 24 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-3x=-6$$

Deildu báðum hliðum með -3.

$$x=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2,y=-4$$