Leysa {l}{4x+y=15}{5y+19x=30}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = 15 } \\ { 5 y + 19 x = 30 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=45$$

$$y=-165$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$4x+y=15,19x+5y=30$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$4x+y=15$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4x=-y+15$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+15\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{4} sinnum -y+15.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{15}{4}$$

Settu \frac{-y+15}{4} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 19x+5y=30.

$$19\left(-\frac{1}{4}y+\frac{15}{4}\right)+5y=30$$

Margfaldaðu 19 sinnum \frac{-y+15}{4}.

$$-\frac{19}{4}y+\frac{285}{4}+5y=30$$

Leggðu -\frac{19y}{4} saman við 5y.

$$\frac{1}{4}y+\frac{285}{4}=30$$

Dragðu \frac{285}{4} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{1}{4}y=-\frac{165}{4}$$

Margfaldaðu báðar hliðar með 4.

$$y=-165$$

Skiptu -165 út fyrir y í x=-\frac{1}{4}y+\frac{15}{4}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-165\right)+\frac{15}{4}$$

Margfaldaðu -\frac{1}{4} sinnum -165.

$$x=\frac{165+15}{4}$$

Leggðu \frac{15}{4} saman við \frac{165}{4} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=45$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=45,y=-165$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$4x+y=15,19x+5y=30$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfan \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-19}&-\frac{1}{4\times 5-19}\\-\frac{19}{4\times 5-19}&\frac{4}{4\times 5-19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&-1\\-19&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 15-30\\-19\times 15+4\times 30\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\-165\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=45,y=-165$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$4x+y=15,19x+5y=30$$

Til að gera 4x og 19x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 19 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 4.

$$19\times 4x+19y=19\times 15,4\times 19x+4\times 5y=4\times 30$$

Einfaldaðu.

$$76x+19y=285,76x+20y=120$$

Dragðu 76x+20y=120 frá 76x+19y=285 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$76x-76x+19y-20y=285-120$$

Leggðu 76x saman við -76x. Liðirnir 76x og -76x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$19y-20y=285-120$$

Leggðu 19y saman við -20y.

$$-y=285-120$$

Leggðu 285 saman við -120.

$$-y=165$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$y=-165$$

Skiptu -165 út fyrir y í 19x+5y=30. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$19x+5\left(-165\right)=30$$

Margfaldaðu 5 sinnum -165.

$$19x-825=30$$

Leggðu 825 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$19x=855$$

Deildu báðum hliðum með 19.

$$x=45$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=45,y=-165$$