Leysa {l}{4x+y=100}{2x+2y=56}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = 100 } \\ { 2 x + 2 y = 56 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=24$$

$$y=4$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$4x+y=100,2x+2y=56$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$4x+y=100$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4x=-y+100$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+100\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{4} sinnum -y+100.

$$x=-\frac{1}{4}y+25$$

Settu -\frac{y}{4}+25 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x+2y=56.

$$2\left(-\frac{1}{4}y+25\right)+2y=56$$

Margfaldaðu 2 sinnum -\frac{y}{4}+25.

$$-\frac{1}{2}y+50+2y=56$$

Leggðu -\frac{y}{2} saman við 2y.

$$\frac{3}{2}y+50=56$$

Dragðu 50 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{3}{2}y=6$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{3}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=4$$

Skiptu 4 út fyrir y í x=-\frac{1}{4}y+25. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{4}\times 4+25$$

Margfaldaðu -\frac{1}{4} sinnum 4.

$$x=-1+25$$

Leggðu 25 saman við -1.

$$x=24$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=24,y=4$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$4x+y=100,2x+2y=56$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\56\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}4&1\\2&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\56\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\56\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\56\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfan \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-2}&-\frac{1}{4\times 2-2}\\-\frac{2}{4\times 2-2}&\frac{4}{4\times 2-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\56\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{6}\\-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\56\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 100-\frac{1}{6}\times 56\\-\frac{1}{3}\times 100+\frac{2}{3}\times 56\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\4\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=24,y=4$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$4x+y=100,2x+2y=56$$

Til að gera 4x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 4.

$$2\times 4x+2y=2\times 100,4\times 2x+4\times 2y=4\times 56$$

Einfaldaðu.

$$8x+2y=200,8x+8y=224$$

Dragðu 8x+8y=224 frá 8x+2y=200 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$8x-8x+2y-8y=200-224$$

Leggðu 8x saman við -8x. Liðirnir 8x og -8x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$2y-8y=200-224$$

Leggðu 2y saman við -8y.

$$-6y=200-224$$

Leggðu 200 saman við -224.

$$-6y=-24$$

Deildu báðum hliðum með -6.

$$y=4$$

Skiptu 4 út fyrir y í 2x+2y=56. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x+2\times 4=56$$

Margfaldaðu 2 sinnum 4.

$$2x+8=56$$

Dragðu 8 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=48$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=24$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=24,y=4$$