Leysa {l}{4x+9y=28}{-4x-y=-28}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 9 y = 28 } \\ { - 4 x - y = - 28 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=7$$

$$y=0$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$4x+9y=28,-4x-y=-28$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$4x+9y=28$$

Dragðu 9y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4x=-9y+28$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-9y+28\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{4} sinnum -9y+28.

$$x=-\frac{9}{4}y+7$$

Settu -\frac{9y}{4}+7 inn fyrir x í hinni jöfnunni, -4x-y=-28.

$$-4\left(-\frac{9}{4}y+7\right)-y=-28$$

Margfaldaðu -4 sinnum -\frac{9y}{4}+7.

$$9y-28-y=-28$$

Leggðu 9y saman við -y.

$$8y-28=-28$$

Leggðu 28 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$8y=0$$

Deildu báðum hliðum með 8.

$$y=0$$

Skiptu 0 út fyrir y í x=-\frac{9}{4}y+7. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=7$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=7,y=0$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$4x+9y=28,-4x-y=-28$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}4&9\\-4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\-28\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}4&9\\-4&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&9\\-4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\-28\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\-28\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\-28\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-9\left(-4\right)}&-\frac{9}{4\left(-1\right)-9\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{4\left(-1\right)-9\left(-4\right)}&\frac{4}{4\left(-1\right)-9\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\-28\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{32}&-\frac{9}{32}\\\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\-28\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{32}\times 28-\frac{9}{32}\left(-28\right)\\\frac{1}{8}\times 28+\frac{1}{8}\left(-28\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\0\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=7,y=0$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$4x+9y=28,-4x-y=-28$$

Til að gera 4x og -4x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -4 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 4.

$$-4\times 4x-4\times 9y=-4\times 28,4\left(-4\right)x+4\left(-1\right)y=4\left(-28\right)$$

Einfaldaðu.

$$-16x-36y=-112,-16x-4y=-112$$

Dragðu -16x-4y=-112 frá -16x-36y=-112 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-16x+16x-36y+4y=-112+112$$

Leggðu -16x saman við 16x. Liðirnir -16x og 16x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-36y+4y=-112+112$$

Leggðu -36y saman við 4y.

$$-32y=-112+112$$

Leggðu -112 saman við 112.

$$-32y=0$$

Deildu báðum hliðum með -32.

$$y=0$$

Skiptu 0 út fyrir y í -4x-y=-28. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-4x=-28$$

Deildu báðum hliðum með -4.

$$x=7$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=7,y=0$$