Leysa {l}{4x+7y=2}{5x+6y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 7 y = 2 } \\ { 5 x + 6 y = 4 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{16}{11} = 1\frac{5}{11} \approx 1.454545455$$

$$y=-\frac{6}{11}\approx -0.545454545$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$4x+7y=2,5x+6y=4$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$4x+7y=2$$

Dragðu 7y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4x=-7y+2$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-7y+2\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{4} sinnum -7y+2.

$$x=-\frac{7}{4}y+\frac{1}{2}$$

Settu -\frac{7y}{4}+\frac{1}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 5x+6y=4.

$$5\left(-\frac{7}{4}y+\frac{1}{2}\right)+6y=4$$

Margfaldaðu 5 sinnum -\frac{7y}{4}+\frac{1}{2}.

$$-\frac{35}{4}y+\frac{5}{2}+6y=4$$

Leggðu -\frac{35y}{4} saman við 6y.

$$-\frac{11}{4}y+\frac{5}{2}=4$$

Dragðu \frac{5}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{11}{4}y=\frac{3}{2}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{11}{4}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-\frac{6}{11}$$

Skiptu -\frac{6}{11} út fyrir y í x=-\frac{7}{4}y+\frac{1}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{7}{4}\left(-\frac{6}{11}\right)+\frac{1}{2}$$

Margfaldaðu -\frac{7}{4} sinnum -\frac{6}{11} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{21}{22}+\frac{1}{2}$$

Leggðu \frac{1}{2} saman við \frac{21}{22} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{16}{11}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{16}{11},y=-\frac{6}{11}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$4x+7y=2,5x+6y=4$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{4\times 6-7\times 5}&-\frac{7}{4\times 6-7\times 5}\\-\frac{5}{4\times 6-7\times 5}&\frac{4}{4\times 6-7\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{11}&\frac{7}{11}\\\frac{5}{11}&-\frac{4}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{11}\times 2+\frac{7}{11}\times 4\\\frac{5}{11}\times 2-\frac{4}{11}\times 4\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{11}\\-\frac{6}{11}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{16}{11},y=-\frac{6}{11}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$4x+7y=2,5x+6y=4$$

Til að gera 4x og 5x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 5 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 4.

$$5\times 4x+5\times 7y=5\times 2,4\times 5x+4\times 6y=4\times 4$$

Einfaldaðu.

$$20x+35y=10,20x+24y=16$$

Dragðu 20x+24y=16 frá 20x+35y=10 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$20x-20x+35y-24y=10-16$$

Leggðu 20x saman við -20x. Liðirnir 20x og -20x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$35y-24y=10-16$$

Leggðu 35y saman við -24y.

$$11y=10-16$$

Leggðu 10 saman við -16.

$$11y=-6$$

Deildu báðum hliðum með 11.

$$y=-\frac{6}{11}$$

Skiptu -\frac{6}{11} út fyrir y í 5x+6y=4. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$5x+6\left(-\frac{6}{11}\right)=4$$

Margfaldaðu 6 sinnum -\frac{6}{11}.

$$5x-\frac{36}{11}=4$$

Leggðu \frac{36}{11} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$5x=\frac{80}{11}$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{16}{11}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{16}{11},y=-\frac{6}{11}$$