Leysa {l}{4x+5y=7}{3x-2y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = 7 } \\ { 3 x - 2 y = 9 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{59}{23} = 2\frac{13}{23} \approx 2.565217391$$

$$y=-\frac{15}{23}\approx -0.652173913$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$4x+5y=7,3x-2y=9$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$4x+5y=7$$

Dragðu 5y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4x=-5y+7$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y+7\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{4} sinnum -5y+7.

$$x=-\frac{5}{4}y+\frac{7}{4}$$

Settu \frac{-5y+7}{4} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x-2y=9.

$$3\left(-\frac{5}{4}y+\frac{7}{4}\right)-2y=9$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{-5y+7}{4}.

$$-\frac{15}{4}y+\frac{21}{4}-2y=9$$

Leggðu -\frac{15y}{4} saman við -2y.

$$-\frac{23}{4}y+\frac{21}{4}=9$$

Dragðu \frac{21}{4} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{23}{4}y=\frac{15}{4}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{23}{4}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-\frac{15}{23}$$

Skiptu -\frac{15}{23} út fyrir y í x=-\frac{5}{4}y+\frac{7}{4}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{5}{4}\left(-\frac{15}{23}\right)+\frac{7}{4}$$

Margfaldaðu -\frac{5}{4} sinnum -\frac{15}{23} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{75}{92}+\frac{7}{4}$$

Leggðu \frac{7}{4} saman við \frac{75}{92} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{59}{23}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{59}{23},y=-\frac{15}{23}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$4x+5y=7,3x-2y=9$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}4&5\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{4\left(-2\right)-5\times 3}&-\frac{5}{4\left(-2\right)-5\times 3}\\-\frac{3}{4\left(-2\right)-5\times 3}&\frac{4}{4\left(-2\right)-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{23}&\frac{5}{23}\\\frac{3}{23}&-\frac{4}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{23}\times 7+\frac{5}{23}\times 9\\\frac{3}{23}\times 7-\frac{4}{23}\times 9\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{59}{23}\\-\frac{15}{23}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{59}{23},y=-\frac{15}{23}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$4x+5y=7,3x-2y=9$$

Til að gera 4x og 3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 4.

$$3\times 4x+3\times 5y=3\times 7,4\times 3x+4\left(-2\right)y=4\times 9$$

Einfaldaðu.

$$12x+15y=21,12x-8y=36$$

Dragðu 12x-8y=36 frá 12x+15y=21 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$12x-12x+15y+8y=21-36$$

Leggðu 12x saman við -12x. Liðirnir 12x og -12x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$15y+8y=21-36$$

Leggðu 15y saman við 8y.

$$23y=21-36$$

Leggðu 21 saman við -36.

$$23y=-15$$

Deildu báðum hliðum með 23.

$$y=-\frac{15}{23}$$

Skiptu -\frac{15}{23} út fyrir y í 3x-2y=9. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x-2\left(-\frac{15}{23}\right)=9$$

Margfaldaðu -2 sinnum -\frac{15}{23}.

$$3x+\frac{30}{23}=9$$

Dragðu \frac{30}{23} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=\frac{177}{23}$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{59}{23}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{59}{23},y=-\frac{15}{23}$$