Leysa {l}{4x+5y=6}{x+7y=3}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = 6 } \\ { x + 7 y = 3 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{27}{23} = 1\frac{4}{23} \approx 1.173913043$$

$$y=\frac{6}{23}\approx 0.260869565$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$4x+5y=6,x+7y=3$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$4x+5y=6$$

Dragðu 5y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4x=-5y+6$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y+6\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{4} sinnum -5y+6.

$$x=-\frac{5}{4}y+\frac{3}{2}$$

Settu -\frac{5y}{4}+\frac{3}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, x+7y=3.

$$-\frac{5}{4}y+\frac{3}{2}+7y=3$$

Leggðu -\frac{5y}{4} saman við 7y.

$$\frac{23}{4}y+\frac{3}{2}=3$$

Dragðu \frac{3}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{23}{4}y=\frac{3}{2}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{23}{4}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{6}{23}$$

Skiptu \frac{6}{23} út fyrir y í x=-\frac{5}{4}y+\frac{3}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{5}{4}\times \frac{6}{23}+\frac{3}{2}$$

Margfaldaðu -\frac{5}{4} sinnum \frac{6}{23} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{15}{46}+\frac{3}{2}$$

Leggðu \frac{3}{2} saman við -\frac{15}{46} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{27}{23}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{27}{23},y=\frac{6}{23}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$4x+5y=6,x+7y=3$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\1&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}4&5\\1&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\1&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{4\times 7-5}&-\frac{5}{4\times 7-5}\\-\frac{1}{4\times 7-5}&\frac{4}{4\times 7-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{23}&-\frac{5}{23}\\-\frac{1}{23}&\frac{4}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{23}\times 6-\frac{5}{23}\times 3\\-\frac{1}{23}\times 6+\frac{4}{23}\times 3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{27}{23}\\\frac{6}{23}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{27}{23},y=\frac{6}{23}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$4x+5y=6,x+7y=3$$

Til að gera 4x og x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 4.

$$4x+5y=6,4x+4\times 7y=4\times 3$$

Einfaldaðu.

$$4x+5y=6,4x+28y=12$$

Dragðu 4x+28y=12 frá 4x+5y=6 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$4x-4x+5y-28y=6-12$$

Leggðu 4x saman við -4x. Liðirnir 4x og -4x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$5y-28y=6-12$$

Leggðu 5y saman við -28y.

$$-23y=6-12$$

Leggðu 6 saman við -12.

$$-23y=-6$$

Deildu báðum hliðum með -23.

$$y=\frac{6}{23}$$

Skiptu \frac{6}{23} út fyrir y í x+7y=3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x+7\times \frac{6}{23}=3$$

Margfaldaðu 7 sinnum \frac{6}{23}.

$$x+\frac{42}{23}=3$$

Dragðu \frac{42}{23} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=\frac{27}{23}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{27}{23},y=\frac{6}{23}$$