Leysa {l}{4x+5y=2}{3x+4y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = 2 } \\ { 3 x + 4 y = 1 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=3$$

$$y=-2$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$4x+5y=2,3x+4y=1$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$4x+5y=2$$

Dragðu 5y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4x=-5y+2$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y+2\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{4} sinnum -5y+2.

$$x=-\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}$$

Settu -\frac{5y}{4}+\frac{1}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x+4y=1.

$$3\left(-\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}\right)+4y=1$$

Margfaldaðu 3 sinnum -\frac{5y}{4}+\frac{1}{2}.

$$-\frac{15}{4}y+\frac{3}{2}+4y=1$$

Leggðu -\frac{15y}{4} saman við 4y.

$$\frac{1}{4}y+\frac{3}{2}=1$$

Dragðu \frac{3}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{1}{4}y=-\frac{1}{2}$$

Margfaldaðu báðar hliðar með 4.

$$y=-2$$

Skiptu -2 út fyrir y í x=-\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{5}{4}\left(-2\right)+\frac{1}{2}$$

Margfaldaðu -\frac{5}{4} sinnum -2.

$$x=\frac{5+1}{2}$$

Leggðu \frac{1}{2} saman við \frac{5}{2} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=3,y=-2$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$4x+5y=2,3x+4y=1$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}4&5\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4\times 4-5\times 3}&-\frac{5}{4\times 4-5\times 3}\\-\frac{3}{4\times 4-5\times 3}&\frac{4}{4\times 4-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4&-5\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\times 2-5\\-3\times 2+4\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=3,y=-2$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$4x+5y=2,3x+4y=1$$

Til að gera 4x og 3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 4.

$$3\times 4x+3\times 5y=3\times 2,4\times 3x+4\times 4y=4$$

Einfaldaðu.

$$12x+15y=6,12x+16y=4$$

Dragðu 12x+16y=4 frá 12x+15y=6 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$12x-12x+15y-16y=6-4$$

Leggðu 12x saman við -12x. Liðirnir 12x og -12x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$15y-16y=6-4$$

Leggðu 15y saman við -16y.

$$-y=6-4$$

Leggðu 6 saman við -4.

$$-y=2$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$y=-2$$

Skiptu -2 út fyrir y í 3x+4y=1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x+4\left(-2\right)=1$$

Margfaldaðu 4 sinnum -2.

$$3x-8=1$$

Leggðu 8 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=9$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=3,y=-2$$