Leysa {l}{4x+5y=1}{5x-7y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = 1 } \\ { 5 x - 7 y = 1 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=\frac{12}{53}\approx 0.226415094$$

$$y=\frac{1}{53}\approx 0.018867925$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$4x+5y=1,5x-7y=1$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$4x+5y=1$$

Dragðu 5y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4x=-5y+1$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y+1\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{4} sinnum -5y+1.

$$x=-\frac{5}{4}y+\frac{1}{4}$$

Settu \frac{-5y+1}{4} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 5x-7y=1.

$$5\left(-\frac{5}{4}y+\frac{1}{4}\right)-7y=1$$

Margfaldaðu 5 sinnum \frac{-5y+1}{4}.

$$-\frac{25}{4}y+\frac{5}{4}-7y=1$$

Leggðu -\frac{25y}{4} saman við -7y.

$$-\frac{53}{4}y+\frac{5}{4}=1$$

Dragðu \frac{5}{4} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{53}{4}y=-\frac{1}{4}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{53}{4}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{1}{53}$$

Skiptu \frac{1}{53} út fyrir y í x=-\frac{5}{4}y+\frac{1}{4}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{5}{4}\times \frac{1}{53}+\frac{1}{4}$$

Margfaldaðu -\frac{5}{4} sinnum \frac{1}{53} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{5}{212}+\frac{1}{4}$$

Leggðu \frac{1}{4} saman við -\frac{5}{212} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{12}{53}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{12}{53},y=\frac{1}{53}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$4x+5y=1,5x-7y=1$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{4\left(-7\right)-5\times 5}&-\frac{5}{4\left(-7\right)-5\times 5}\\-\frac{5}{4\left(-7\right)-5\times 5}&\frac{4}{4\left(-7\right)-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{53}&\frac{5}{53}\\\frac{5}{53}&-\frac{4}{53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7+5}{53}\\\frac{5-4}{53}\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{53}\\\frac{1}{53}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{12}{53},y=\frac{1}{53}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$4x+5y=1,5x-7y=1$$

Til að gera 4x og 5x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 5 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 4.

$$5\times 4x+5\times 5y=5,4\times 5x+4\left(-7\right)y=4$$

Einfaldaðu.

$$20x+25y=5,20x-28y=4$$

Dragðu 20x-28y=4 frá 20x+25y=5 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$20x-20x+25y+28y=5-4$$

Leggðu 20x saman við -20x. Liðirnir 20x og -20x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$25y+28y=5-4$$

Leggðu 25y saman við 28y.

$$53y=5-4$$

Leggðu 5 saman við -4.

$$53y=1$$

Deildu báðum hliðum með 53.

$$y=\frac{1}{53}$$

Skiptu \frac{1}{53} út fyrir y í 5x-7y=1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$5x-7\times \frac{1}{53}=1$$

Margfaldaðu -7 sinnum \frac{1}{53}.

$$5x-\frac{7}{53}=1$$

Leggðu \frac{7}{53} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$5x=\frac{60}{53}$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{12}{53}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{12}{53},y=\frac{1}{53}$$