Leysa {l}{4x+4y=280}{4x+1y=124}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 4 y = 280 } \\ { 4 x + 1 y = 124 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=18$$

$$y=52$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$4x+4y=280,4x+y=124$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$4x+4y=280$$

Dragðu 4y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4x=-4y+280$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-4y+280\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{4} sinnum -4y+280.

$$x=-y+70$$

Settu -y+70 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 4x+y=124.

$$4\left(-y+70\right)+y=124$$

Margfaldaðu 4 sinnum -y+70.

$$-4y+280+y=124$$

Leggðu -4y saman við y.

$$-3y+280=124$$

Dragðu 280 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-3y=-156$$

Deildu báðum hliðum með -3.

$$y=52$$

Skiptu 52 út fyrir y í x=-y+70. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-52+70$$

Leggðu 70 saman við -52.

$$x=18$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=18,y=52$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$4x+4y=280,4x+y=124$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}4&4\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}4&4\\4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&4\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-4\times 4}&-\frac{4}{4-4\times 4}\\-\frac{4}{4-4\times 4}&\frac{4}{4-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}\times 280+\frac{1}{3}\times 124\\\frac{1}{3}\times 280-\frac{1}{3}\times 124\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\52\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=18,y=52$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$4x+4y=280,4x+y=124$$

Dragðu 4x+y=124 frá 4x+4y=280 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$4x-4x+4y-y=280-124$$

Leggðu 4x saman við -4x. Liðirnir 4x og -4x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$4y-y=280-124$$

Leggðu 4y saman við -y.

$$3y=280-124$$

Leggðu 280 saman við -124.

$$3y=156$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$y=52$$

Skiptu 52 út fyrir y í 4x+y=124. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$4x+52=124$$

Dragðu 52 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4x=72$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=18$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=18,y=52$$