Leysa {l}{4x+3y=4}{4x+6y=16}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = 4 } \\ { 4 x + 6 y = 16 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-2$$

$$y=4$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$4x+3y=4,4x+6y=16$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$4x+3y=4$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4x=-3y+4$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+4\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{4} sinnum -3y+4.

$$x=-\frac{3}{4}y+1$$

Settu -\frac{3y}{4}+1 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 4x+6y=16.

$$4\left(-\frac{3}{4}y+1\right)+6y=16$$

Margfaldaðu 4 sinnum -\frac{3y}{4}+1.

$$-3y+4+6y=16$$

Leggðu -3y saman við 6y.

$$3y+4=16$$

Dragðu 4 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3y=12$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$y=4$$

Skiptu 4 út fyrir y í x=-\frac{3}{4}y+1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{3}{4}\times 4+1$$

Margfaldaðu -\frac{3}{4} sinnum 4.

$$x=-3+1$$

Leggðu 1 saman við -3.

$$x=-2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-2,y=4$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$4x+3y=4,4x+6y=16$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\16\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}4&3\\4&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\16\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\16\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\16\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{4\times 6-3\times 4}&-\frac{3}{4\times 6-3\times 4}\\-\frac{4}{4\times 6-3\times 4}&\frac{4}{4\times 6-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\16\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\16\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 4-\frac{1}{4}\times 16\\-\frac{1}{3}\times 4+\frac{1}{3}\times 16\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\4\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-2,y=4$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$4x+3y=4,4x+6y=16$$

Dragðu 4x+6y=16 frá 4x+3y=4 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$4x-4x+3y-6y=4-16$$

Leggðu 4x saman við -4x. Liðirnir 4x og -4x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$3y-6y=4-16$$

Leggðu 3y saman við -6y.

$$-3y=4-16$$

Leggðu 4 saman við -16.

$$-3y=-12$$

Deildu báðum hliðum með -3.

$$y=4$$

Skiptu 4 út fyrir y í 4x+6y=16. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$4x+6\times 4=16$$

Margfaldaðu 6 sinnum 4.

$$4x+24=16$$

Dragðu 24 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4x=-8$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=-2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-2,y=4$$