Leysa {l}{4x+2y=12}{7x+18y=19}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 2 y = 12 } \\ { 7 x + 18 y = 19 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{89}{29} = 3\frac{2}{29} \approx 3.068965517$$

$$y=-\frac{4}{29}\approx -0.137931034$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$4x+2y=12,7x+18y=19$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$4x+2y=12$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4x=-2y+12$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+12\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{4} sinnum -2y+12.

$$x=-\frac{1}{2}y+3$$

Settu -\frac{y}{2}+3 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 7x+18y=19.

$$7\left(-\frac{1}{2}y+3\right)+18y=19$$

Margfaldaðu 7 sinnum -\frac{y}{2}+3.

$$-\frac{7}{2}y+21+18y=19$$

Leggðu -\frac{7y}{2} saman við 18y.

$$\frac{29}{2}y+21=19$$

Dragðu 21 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{29}{2}y=-2$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{29}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-\frac{4}{29}$$

Skiptu -\frac{4}{29} út fyrir y í x=-\frac{1}{2}y+3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-\frac{4}{29}\right)+3$$

Margfaldaðu -\frac{1}{2} sinnum -\frac{4}{29} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{2}{29}+3$$

Leggðu 3 saman við \frac{2}{29}.

$$x=\frac{89}{29}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{89}{29},y=-\frac{4}{29}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$4x+2y=12,7x+18y=19$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{4\times 18-2\times 7}&-\frac{2}{4\times 18-2\times 7}\\-\frac{7}{4\times 18-2\times 7}&\frac{4}{4\times 18-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{29}&-\frac{1}{29}\\-\frac{7}{58}&\frac{2}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{29}\times 12-\frac{1}{29}\times 19\\-\frac{7}{58}\times 12+\frac{2}{29}\times 19\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{89}{29}\\-\frac{4}{29}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{89}{29},y=-\frac{4}{29}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$4x+2y=12,7x+18y=19$$

Til að gera 4x og 7x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 7 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 4.

$$7\times 4x+7\times 2y=7\times 12,4\times 7x+4\times 18y=4\times 19$$

Einfaldaðu.

$$28x+14y=84,28x+72y=76$$

Dragðu 28x+72y=76 frá 28x+14y=84 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$28x-28x+14y-72y=84-76$$

Leggðu 28x saman við -28x. Liðirnir 28x og -28x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$14y-72y=84-76$$

Leggðu 14y saman við -72y.

$$-58y=84-76$$

Leggðu 84 saman við -76.

$$-58y=8$$

Deildu báðum hliðum með -58.

$$y=-\frac{4}{29}$$

Skiptu -\frac{4}{29} út fyrir y í 7x+18y=19. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$7x+18\left(-\frac{4}{29}\right)=19$$

Margfaldaðu 18 sinnum -\frac{4}{29}.

$$7x-\frac{72}{29}=19$$

Leggðu \frac{72}{29} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$7x=\frac{623}{29}$$

Deildu báðum hliðum með 7.

$$x=\frac{89}{29}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{89}{29},y=-\frac{4}{29}$$