Leysa {l}{4a_{1}+6d=3}{3a_{1}+21d=4}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 a _ { 1 } + 6 d = 3 } \\ { 3 a _ { 1 } + 21 d = 4 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir a_1, d

$$a_{1}=\frac{13}{22}\approx 0.590909091$$

$$d=\frac{7}{66}\approx 0.106060606$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$4a_{1}+6d=3,3a_{1}+21d=4$$

Veldu eina jöfnuna og leystu a_{1} með því að einangra a_{1} vinstra megin við samasemmerkið.

$$4a_{1}+6d=3$$

Dragðu 6d frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4a_{1}=-6d+3$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$a_{1}=\frac{1}{4}\left(-6d+3\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{4} sinnum -6d+3.

$$a_{1}=-\frac{3}{2}d+\frac{3}{4}$$

Settu -\frac{3d}{2}+\frac{3}{4} inn fyrir a_{1} í hinni jöfnunni, 3a_{1}+21d=4.

$$3\left(-\frac{3}{2}d+\frac{3}{4}\right)+21d=4$$

Margfaldaðu 3 sinnum -\frac{3d}{2}+\frac{3}{4}.

$$-\frac{9}{2}d+\frac{9}{4}+21d=4$$

Leggðu -\frac{9d}{2} saman við 21d.

$$\frac{33}{2}d+\frac{9}{4}=4$$

Dragðu \frac{9}{4} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{33}{2}d=\frac{7}{4}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{33}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$d=\frac{7}{66}$$

Skiptu \frac{7}{66} út fyrir d í a_{1}=-\frac{3}{2}d+\frac{3}{4}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst a_{1} strax.

$$a_{1}=-\frac{3}{2}\times \frac{7}{66}+\frac{3}{4}$$

Margfaldaðu -\frac{3}{2} sinnum \frac{7}{66} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$a_{1}=-\frac{7}{44}+\frac{3}{4}$$

Leggðu \frac{3}{4} saman við -\frac{7}{44} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$a_{1}=\frac{13}{22}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$a_{1}=\frac{13}{22},d=\frac{7}{66}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$4a_{1}+6d=3,3a_{1}+21d=4$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{21}{4\times 21-6\times 3}&-\frac{6}{4\times 21-6\times 3}\\-\frac{3}{4\times 21-6\times 3}&\frac{4}{4\times 21-6\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{22}&-\frac{1}{11}\\-\frac{1}{22}&\frac{2}{33}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{22}\times 3-\frac{1}{11}\times 4\\-\frac{1}{22}\times 3+\frac{2}{33}\times 4\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{22}\\\frac{7}{66}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna a_{1} og d.

$$a_{1}=\frac{13}{22},d=\frac{7}{66}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$4a_{1}+6d=3,3a_{1}+21d=4$$

Til að gera 4a_{1} og 3a_{1} jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 4.

$$3\times 4a_{1}+3\times 6d=3\times 3,4\times 3a_{1}+4\times 21d=4\times 4$$

Einfaldaðu.

$$12a_{1}+18d=9,12a_{1}+84d=16$$

Dragðu 12a_{1}+84d=16 frá 12a_{1}+18d=9 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$12a_{1}-12a_{1}+18d-84d=9-16$$

Leggðu 12a_{1} saman við -12a_{1}. Liðirnir 12a_{1} og -12a_{1} núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$18d-84d=9-16$$

Leggðu 18d saman við -84d.

$$-66d=9-16$$

Leggðu 9 saman við -16.

$$-66d=-7$$

Deildu báðum hliðum með -66.

$$d=\frac{7}{66}$$

Skiptu \frac{7}{66} út fyrir d í 3a_{1}+21d=4. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst a_{1} strax.

$$3a_{1}+21\times \frac{7}{66}=4$$

Margfaldaðu 21 sinnum \frac{7}{66}.

$$3a_{1}+\frac{49}{22}=4$$

Dragðu \frac{49}{22} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3a_{1}=\frac{39}{22}$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$a_{1}=\frac{13}{22}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$a_{1}=\frac{13}{22},d=\frac{7}{66}$$