Leysa {l}{4a+5v=28}{6a+3v=24}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 a + 5 v = 28 } \\ { 6 a + 3 v = 24 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir a, v

$$a=2$$

$$v=4$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$4a+5v=28,6a+3v=24$$

Veldu eina jöfnuna og leystu a með því að einangra a vinstra megin við samasemmerkið.

$$4a+5v=28$$

Dragðu 5v frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4a=-5v+28$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$a=\frac{1}{4}\left(-5v+28\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{4} sinnum -5v+28.

$$a=-\frac{5}{4}v+7$$

Settu -\frac{5v}{4}+7 inn fyrir a í hinni jöfnunni, 6a+3v=24.

$$6\left(-\frac{5}{4}v+7\right)+3v=24$$

Margfaldaðu 6 sinnum -\frac{5v}{4}+7.

$$-\frac{15}{2}v+42+3v=24$$

Leggðu -\frac{15v}{2} saman við 3v.

$$-\frac{9}{2}v+42=24$$

Dragðu 42 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{9}{2}v=-18$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{9}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$v=4$$

Skiptu 4 út fyrir v í a=-\frac{5}{4}v+7. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst a strax.

$$a=-\frac{5}{4}\times 4+7$$

Margfaldaðu -\frac{5}{4} sinnum 4.

$$a=-5+7$$

Leggðu 7 saman við -5.

$$a=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$a=2,v=4$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$4a+5v=28,6a+3v=24$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}4&5\\6&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}a\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}a\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-5\times 6}&-\frac{5}{4\times 3-5\times 6}\\-\frac{6}{4\times 3-5\times 6}&\frac{4}{4\times 3-5\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}a\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{5}{18}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}a\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\times 28+\frac{5}{18}\times 24\\\frac{1}{3}\times 28-\frac{2}{9}\times 24\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}a\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna a og v.

$$a=2,v=4$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$4a+5v=28,6a+3v=24$$

Til að gera 4a og 6a jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 6 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 4.

$$6\times 4a+6\times 5v=6\times 28,4\times 6a+4\times 3v=4\times 24$$

Einfaldaðu.

$$24a+30v=168,24a+12v=96$$

Dragðu 24a+12v=96 frá 24a+30v=168 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$24a-24a+30v-12v=168-96$$

Leggðu 24a saman við -24a. Liðirnir 24a og -24a núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$30v-12v=168-96$$

Leggðu 30v saman við -12v.

$$18v=168-96$$

Leggðu 168 saman við -96.

$$18v=72$$

Deildu báðum hliðum með 18.

$$v=4$$

Skiptu 4 út fyrir v í 6a+3v=24. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst a strax.

$$6a+3\times 4=24$$

Margfaldaðu 3 sinnum 4.

$$6a+12=24$$

Dragðu 12 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$6a=12$$

Deildu báðum hliðum með 6.

$$a=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$a=2,v=4$$