Leysa {l}{4a+5b=9}{2a-b=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 a + 5 b = 9 } \\ { 2 a - b = 7 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir a, b

$$a = \frac{22}{7} = 3\frac{1}{7} \approx 3.142857143$$

$$b=-\frac{5}{7}\approx -0.714285714$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$4a+5b=9,2a-b=7$$

Veldu eina jöfnuna og leystu a með því að einangra a vinstra megin við samasemmerkið.

$$4a+5b=9$$

Dragðu 5b frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4a=-5b+9$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$a=\frac{1}{4}\left(-5b+9\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{4} sinnum -5b+9.

$$a=-\frac{5}{4}b+\frac{9}{4}$$

Settu \frac{-5b+9}{4} inn fyrir a í hinni jöfnunni, 2a-b=7.

$$2\left(-\frac{5}{4}b+\frac{9}{4}\right)-b=7$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{-5b+9}{4}.

$$-\frac{5}{2}b+\frac{9}{2}-b=7$$

Leggðu -\frac{5b}{2} saman við -b.

$$-\frac{7}{2}b+\frac{9}{2}=7$$

Dragðu \frac{9}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{7}{2}b=\frac{5}{2}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{7}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$b=-\frac{5}{7}$$

Skiptu -\frac{5}{7} út fyrir b í a=-\frac{5}{4}b+\frac{9}{4}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst a strax.

$$a=-\frac{5}{4}\left(-\frac{5}{7}\right)+\frac{9}{4}$$

Margfaldaðu -\frac{5}{4} sinnum -\frac{5}{7} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$a=\frac{25}{28}+\frac{9}{4}$$

Leggðu \frac{9}{4} saman við \frac{25}{28} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$a=\frac{22}{7}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$a=\frac{22}{7},b=-\frac{5}{7}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$4a+5b=9,2a-b=7$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-5\times 2}&-\frac{5}{4\left(-1\right)-5\times 2}\\-\frac{2}{4\left(-1\right)-5\times 2}&\frac{4}{4\left(-1\right)-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&\frac{5}{14}\\\frac{1}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\times 9+\frac{5}{14}\times 7\\\frac{1}{7}\times 9-\frac{2}{7}\times 7\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{7}\\-\frac{5}{7}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna a og b.

$$a=\frac{22}{7},b=-\frac{5}{7}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$4a+5b=9,2a-b=7$$

Til að gera 4a og 2a jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 4.

$$2\times 4a+2\times 5b=2\times 9,4\times 2a+4\left(-1\right)b=4\times 7$$

Einfaldaðu.

$$8a+10b=18,8a-4b=28$$

Dragðu 8a-4b=28 frá 8a+10b=18 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$8a-8a+10b+4b=18-28$$

Leggðu 8a saman við -8a. Liðirnir 8a og -8a núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$10b+4b=18-28$$

Leggðu 10b saman við 4b.

$$14b=18-28$$

Leggðu 18 saman við -28.

$$14b=-10$$

Deildu báðum hliðum með 14.

$$b=-\frac{5}{7}$$

Skiptu -\frac{5}{7} út fyrir b í 2a-b=7. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst a strax.

$$2a-\left(-\frac{5}{7}\right)=7$$

Dragðu \frac{5}{7} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2a=\frac{44}{7}$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$a=\frac{22}{7}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$a=\frac{22}{7},b=-\frac{5}{7}$$