Leysa {l}{36x-5y=7}{6x+3y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 36 x - 5 y = 7 } \\ { 6 x + 3 y = 8 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=\frac{61}{138}\approx 0.442028986$$

$$y = \frac{41}{23} = 1\frac{18}{23} \approx 1.782608696$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$36x-5y=7,6x+3y=8$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$36x-5y=7$$

Leggðu 5y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$36x=5y+7$$

Deildu báðum hliðum með 36.

$$x=\frac{1}{36}\left(5y+7\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{36} sinnum 5y+7.

$$x=\frac{5}{36}y+\frac{7}{36}$$

Settu \frac{5y+7}{36} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 6x+3y=8.

$$6\left(\frac{5}{36}y+\frac{7}{36}\right)+3y=8$$

Margfaldaðu 6 sinnum \frac{5y+7}{36}.

$$\frac{5}{6}y+\frac{7}{6}+3y=8$$

Leggðu \frac{5y}{6} saman við 3y.

$$\frac{23}{6}y+\frac{7}{6}=8$$

Dragðu \frac{7}{6} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{23}{6}y=\frac{41}{6}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{23}{6}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{41}{23}$$

Skiptu \frac{41}{23} út fyrir y í x=\frac{5}{36}y+\frac{7}{36}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{5}{36}\times \frac{41}{23}+\frac{7}{36}$$

Margfaldaðu \frac{5}{36} sinnum \frac{41}{23} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{205}{828}+\frac{7}{36}$$

Leggðu \frac{7}{36} saman við \frac{205}{828} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{61}{138}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{61}{138},y=\frac{41}{23}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$36x-5y=7,6x+3y=8$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{36\times 3-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{36\times 3-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{36\times 3-\left(-5\times 6\right)}&\frac{36}{36\times 3-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{46}&\frac{5}{138}\\-\frac{1}{23}&\frac{6}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{46}\times 7+\frac{5}{138}\times 8\\-\frac{1}{23}\times 7+\frac{6}{23}\times 8\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{61}{138}\\\frac{41}{23}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{61}{138},y=\frac{41}{23}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$36x-5y=7,6x+3y=8$$

Til að gera 36x og 6x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 6 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 36.

$$6\times 36x+6\left(-5\right)y=6\times 7,36\times 6x+36\times 3y=36\times 8$$

Einfaldaðu.

$$216x-30y=42,216x+108y=288$$

Dragðu 216x+108y=288 frá 216x-30y=42 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$216x-216x-30y-108y=42-288$$

Leggðu 216x saman við -216x. Liðirnir 216x og -216x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-30y-108y=42-288$$

Leggðu -30y saman við -108y.

$$-138y=42-288$$

Leggðu 42 saman við -288.

$$-138y=-246$$

Deildu báðum hliðum með -138.

$$y=\frac{41}{23}$$

Skiptu \frac{41}{23} út fyrir y í 6x+3y=8. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$6x+3\times \frac{41}{23}=8$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{41}{23}.

$$6x+\frac{123}{23}=8$$

Dragðu \frac{123}{23} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$6x=\frac{61}{23}$$

Deildu báðum hliðum með 6.

$$x=\frac{61}{138}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{61}{138},y=\frac{41}{23}$$