Leysa {l}{342=23m+b}{147=10m+b}

$$\left. \begin{array} { l } { 342 = 23 m + b } \\ { 147 = 10 m + b } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir m, b

$$m=15$$

$$b=-3$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Skipta um hliðar svo allir liðir breytunnar séu vinstra megin.

$$23m+b=342$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Skipta um hliðar svo allir liðir breytunnar séu vinstra megin.

$$10m+b=147$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$23m+b=342,10m+b=147$$

Veldu eina jöfnuna og leystu m með því að einangra m vinstra megin við samasemmerkið.

$$23m+b=342$$

Dragðu b frá báðum hliðum jöfnunar.

$$23m=-b+342$$

Deildu báðum hliðum með 23.

$$m=\frac{1}{23}\left(-b+342\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{23} sinnum -b+342.

$$m=-\frac{1}{23}b+\frac{342}{23}$$

Settu \frac{-b+342}{23} inn fyrir m í hinni jöfnunni, 10m+b=147.

$$10\left(-\frac{1}{23}b+\frac{342}{23}\right)+b=147$$

Margfaldaðu 10 sinnum \frac{-b+342}{23}.

$$-\frac{10}{23}b+\frac{3420}{23}+b=147$$

Leggðu -\frac{10b}{23} saman við b.

$$\frac{13}{23}b+\frac{3420}{23}=147$$

Dragðu \frac{3420}{23} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{13}{23}b=-\frac{39}{23}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{13}{23}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$b=-3$$

Skiptu -3 út fyrir b í m=-\frac{1}{23}b+\frac{342}{23}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst m strax.

$$m=-\frac{1}{23}\left(-3\right)+\frac{342}{23}$$

Margfaldaðu -\frac{1}{23} sinnum -3.

$$m=\frac{3+342}{23}$$

Leggðu \frac{342}{23} saman við \frac{3}{23} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$m=15$$

Leyst var úr kerfinu.

$$m=15,b=-3$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Skipta um hliðar svo allir liðir breytunnar séu vinstra megin.

$$23m+b=342$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Skipta um hliðar svo allir liðir breytunnar séu vinstra megin.

$$10m+b=147$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$23m+b=342,10m+b=147$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}23&1\\10&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}342\\147\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}23&1\\10&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}23&1\\10&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23&1\\10&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}23&1\\10&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}342\\147\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}23&1\\10&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}342\\147\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}m\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}23&1\\10&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}342\\147\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}m\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{23-10}&-\frac{1}{23-10}\\-\frac{10}{23-10}&\frac{23}{23-10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}342\\147\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}m\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&-\frac{1}{13}\\-\frac{10}{13}&\frac{23}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}342\\147\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}m\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\times 342-\frac{1}{13}\times 147\\-\frac{10}{13}\times 342+\frac{23}{13}\times 147\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}m\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\-3\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna m og b.

$$m=15,b=-3$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Skipta um hliðar svo allir liðir breytunnar séu vinstra megin.

$$23m+b=342$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Skipta um hliðar svo allir liðir breytunnar séu vinstra megin.

$$10m+b=147$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$23m+b=342,10m+b=147$$

Dragðu 10m+b=147 frá 23m+b=342 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$23m-10m+b-b=342-147$$

Leggðu b saman við -b. Liðirnir b og -b núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$23m-10m=342-147$$

Leggðu 23m saman við -10m.

$$13m=342-147$$

Leggðu 342 saman við -147.

$$13m=195$$

Deildu báðum hliðum með 13.

$$m=15$$

Skiptu 15 út fyrir m í 10m+b=147. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst b strax.

$$10\times 15+b=147$$

Margfaldaðu 10 sinnum 15.

$$150+b=147$$

Dragðu 150 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$b=-3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$m=15,b=-3$$