Leysa {l}{3y-6=x}{x-9=2y}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 y - 6 = x } \\ { x - 9 = 2 y } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir y, x

$$x=39$$

$$y=15$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu x frá báðum hliðum.

$$3y-6-x=0$$

Bættu 6 við báðar hliðar. Allt sem er lagt saman við núll skilar sjálfu sér.

$$3y-x=6$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 2y frá báðum hliðum.

$$x-9-2y=0$$

Bættu 9 við báðar hliðar. Allt sem er lagt saman við núll skilar sjálfu sér.

$$x-2y=9$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3y-x=6,-2y+x=9$$

Veldu eina jöfnuna og leystu y með því að einangra y vinstra megin við samasemmerkið.

$$3y-x=6$$

Leggðu x saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3y=x+6$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$y=\frac{1}{3}\left(x+6\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum x+6.

$$y=\frac{1}{3}x+2$$

Settu \frac{x}{3}+2 inn fyrir y í hinni jöfnunni, -2y+x=9.

$$-2\left(\frac{1}{3}x+2\right)+x=9$$

Margfaldaðu -2 sinnum \frac{x}{3}+2.

$$-\frac{2}{3}x-4+x=9$$

Leggðu -\frac{2x}{3} saman við x.

$$\frac{1}{3}x-4=9$$

Leggðu 4 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{1}{3}x=13$$

Margfaldaðu báðar hliðar með 3.

$$x=39$$

Skiptu 39 út fyrir x í y=\frac{1}{3}x+2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y=\frac{1}{3}\times 39+2$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum 39.

$$y=13+2$$

Leggðu 2 saman við 13.

$$y=15$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=15,x=39$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu x frá báðum hliðum.

$$3y-6-x=0$$

Bættu 6 við báðar hliðar. Allt sem er lagt saman við núll skilar sjálfu sér.

$$3y-x=6$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 2y frá báðum hliðum.

$$x-9-2y=0$$

Bættu 9 við báðar hliðar. Allt sem er lagt saman við núll skilar sjálfu sér.

$$x-2y=9$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3y-x=6,-2y+x=9$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{3-\left(-\left(-2\right)\right)}&\frac{3}{3-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6+9\\2\times 6+3\times 9\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\39\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna y og x.

$$y=15,x=39$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu x frá báðum hliðum.

$$3y-6-x=0$$

Bættu 6 við báðar hliðar. Allt sem er lagt saman við núll skilar sjálfu sér.

$$3y-x=6$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 2y frá báðum hliðum.

$$x-9-2y=0$$

Bættu 9 við báðar hliðar. Allt sem er lagt saman við núll skilar sjálfu sér.

$$x-2y=9$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3y-x=6,-2y+x=9$$

Til að gera 3y og -2y jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$-2\times 3y-2\left(-1\right)x=-2\times 6,3\left(-2\right)y+3x=3\times 9$$

Einfaldaðu.

$$-6y+2x=-12,-6y+3x=27$$

Dragðu -6y+3x=27 frá -6y+2x=-12 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-6y+6y+2x-3x=-12-27$$

Leggðu -6y saman við 6y. Liðirnir -6y og 6y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$2x-3x=-12-27$$

Leggðu 2x saman við -3x.

$$-x=-12-27$$

Leggðu -12 saman við -27.

$$-x=-39$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$x=39$$

Skiptu 39 út fyrir x í -2y+x=9. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$-2y+39=9$$

Dragðu 39 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-2y=-30$$

Deildu báðum hliðum með -2.

$$y=15$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=15,x=39$$