Leysa {l}{3y+x=31}{2y+3x=44}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 y + x = 31 } \\ { 2 y + 3 x = 44 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir y, x

$$x=10$$

$$y=7$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3y+x=31,2y+3x=44$$

Veldu eina jöfnuna og leystu y með því að einangra y vinstra megin við samasemmerkið.

$$3y+x=31$$

Dragðu x frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3y=-x+31$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$y=\frac{1}{3}\left(-x+31\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -x+31.

$$y=-\frac{1}{3}x+\frac{31}{3}$$

Settu \frac{-x+31}{3} inn fyrir y í hinni jöfnunni, 2y+3x=44.

$$2\left(-\frac{1}{3}x+\frac{31}{3}\right)+3x=44$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{-x+31}{3}.

$$-\frac{2}{3}x+\frac{62}{3}+3x=44$$

Leggðu -\frac{2x}{3} saman við 3x.

$$\frac{7}{3}x+\frac{62}{3}=44$$

Dragðu \frac{62}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{7}{3}x=\frac{70}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{7}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x=10$$

Skiptu 10 út fyrir x í y=-\frac{1}{3}x+\frac{31}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y=-\frac{1}{3}\times 10+\frac{31}{3}$$

Margfaldaðu -\frac{1}{3} sinnum 10.

$$y=\frac{-10+31}{3}$$

Leggðu \frac{31}{3} saman við -\frac{10}{3} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$y=7$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=7,x=10$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3y+x=31,2y+3x=44$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-2}&-\frac{1}{3\times 3-2}\\-\frac{2}{3\times 3-2}&\frac{3}{3\times 3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 31-\frac{1}{7}\times 44\\-\frac{2}{7}\times 31+\frac{3}{7}\times 44\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna y og x.

$$y=7,x=10$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3y+x=31,2y+3x=44$$

Til að gera 3y og 2y jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$2\times 3y+2x=2\times 31,3\times 2y+3\times 3x=3\times 44$$

Einfaldaðu.

$$6y+2x=62,6y+9x=132$$

Dragðu 6y+9x=132 frá 6y+2x=62 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$6y-6y+2x-9x=62-132$$

Leggðu 6y saman við -6y. Liðirnir 6y og -6y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$2x-9x=62-132$$

Leggðu 2x saman við -9x.

$$-7x=62-132$$

Leggðu 62 saman við -132.

$$-7x=-70$$

Deildu báðum hliðum með -7.

$$x=10$$

Skiptu 10 út fyrir x í 2y+3x=44. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$2y+3\times 10=44$$

Margfaldaðu 3 sinnum 10.

$$2y+30=44$$

Dragðu 30 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2y=14$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$y=7$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=7,x=10$$