Leysa {l}{3y+4x=8}{5y-2x=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 y + 4 x = 8 } \\ { 5 y - 2 x = 10 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir y, x

$$x=\frac{5}{13}\approx 0.384615385$$

$$y = \frac{28}{13} = 2\frac{2}{13} \approx 2.153846154$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3y+4x=8,5y-2x=10$$

Veldu eina jöfnuna og leystu y með því að einangra y vinstra megin við samasemmerkið.

$$3y+4x=8$$

Dragðu 4x frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3y=-4x+8$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$y=\frac{1}{3}\left(-4x+8\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -4x+8.

$$y=-\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}$$

Settu \frac{-4x+8}{3} inn fyrir y í hinni jöfnunni, 5y-2x=10.

$$5\left(-\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}\right)-2x=10$$

Margfaldaðu 5 sinnum \frac{-4x+8}{3}.

$$-\frac{20}{3}x+\frac{40}{3}-2x=10$$

Leggðu -\frac{20x}{3} saman við -2x.

$$-\frac{26}{3}x+\frac{40}{3}=10$$

Dragðu \frac{40}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{26}{3}x=-\frac{10}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{26}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x=\frac{5}{13}$$

Skiptu \frac{5}{13} út fyrir x í y=-\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y=-\frac{4}{3}\times \frac{5}{13}+\frac{8}{3}$$

Margfaldaðu -\frac{4}{3} sinnum \frac{5}{13} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$y=-\frac{20}{39}+\frac{8}{3}$$

Leggðu \frac{8}{3} saman við -\frac{20}{39} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$y=\frac{28}{13}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=\frac{28}{13},x=\frac{5}{13}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3y+4x=8,5y-2x=10$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&4\\5&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-4\times 5}&-\frac{4}{3\left(-2\right)-4\times 5}\\-\frac{5}{3\left(-2\right)-4\times 5}&\frac{3}{3\left(-2\right)-4\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{2}{13}\\\frac{5}{26}&-\frac{3}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\times 8+\frac{2}{13}\times 10\\\frac{5}{26}\times 8-\frac{3}{26}\times 10\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{28}{13}\\\frac{5}{13}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna y og x.

$$y=\frac{28}{13},x=\frac{5}{13}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3y+4x=8,5y-2x=10$$

Til að gera 3y og 5y jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 5 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$5\times 3y+5\times 4x=5\times 8,3\times 5y+3\left(-2\right)x=3\times 10$$

Einfaldaðu.

$$15y+20x=40,15y-6x=30$$

Dragðu 15y-6x=30 frá 15y+20x=40 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$15y-15y+20x+6x=40-30$$

Leggðu 15y saman við -15y. Liðirnir 15y og -15y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$20x+6x=40-30$$

Leggðu 20x saman við 6x.

$$26x=40-30$$

Leggðu 40 saman við -30.

$$26x=10$$

Deildu báðum hliðum með 26.

$$x=\frac{5}{13}$$

Skiptu \frac{5}{13} út fyrir x í 5y-2x=10. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$5y-2\times \frac{5}{13}=10$$

Margfaldaðu -2 sinnum \frac{5}{13}.

$$5y-\frac{10}{13}=10$$

Leggðu \frac{10}{13} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$5y=\frac{140}{13}$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$y=\frac{28}{13}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=\frac{28}{13},x=\frac{5}{13}$$