Leysa {l}{3y+2x=75}{x+y=50}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 y + 2 x = 75 } \\ { x + y = 50 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir y, x

$$x=75$$

$$y=-25$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3y+2x=75,y+x=50$$

Veldu eina jöfnuna og leystu y með því að einangra y vinstra megin við samasemmerkið.

$$3y+2x=75$$

Dragðu 2x frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3y=-2x+75$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$y=\frac{1}{3}\left(-2x+75\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -2x+75.

$$y=-\frac{2}{3}x+25$$

Settu -\frac{2x}{3}+25 inn fyrir y í hinni jöfnunni, y+x=50.

$$-\frac{2}{3}x+25+x=50$$

Leggðu -\frac{2x}{3} saman við x.

$$\frac{1}{3}x+25=50$$

Dragðu 25 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{1}{3}x=25$$

Margfaldaðu báðar hliðar með 3.

$$x=75$$

Skiptu 75 út fyrir x í y=-\frac{2}{3}x+25. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y=-\frac{2}{3}\times 75+25$$

Margfaldaðu -\frac{2}{3} sinnum 75.

$$y=-50+25$$

Leggðu 25 saman við -50.

$$y=-25$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=-25,x=75$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3y+2x=75,y+x=50$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}75\\50\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}75\\50\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}75\\50\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}75\\50\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-2}&-\frac{2}{3-2}\\-\frac{1}{3-2}&\frac{3}{3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}75\\50\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-2\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}75\\50\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}75-2\times 50\\-75+3\times 50\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-25\\75\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna y og x.

$$y=-25,x=75$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3y+2x=75,y+x=50$$

Til að gera 3y og y jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$3y+2x=75,3y+3x=3\times 50$$

Einfaldaðu.

$$3y+2x=75,3y+3x=150$$

Dragðu 3y+3x=150 frá 3y+2x=75 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$3y-3y+2x-3x=75-150$$

Leggðu 3y saman við -3y. Liðirnir 3y og -3y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$2x-3x=75-150$$

Leggðu 2x saman við -3x.

$$-x=75-150$$

Leggðu 75 saman við -150.

$$-x=-75$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$x=75$$

Skiptu 75 út fyrir x í y+x=50. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y+75=50$$

Dragðu 75 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$y=-25$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=-25,x=75$$