Leysa {l}{3x-y-2=0}{2x+y-8=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - y - 2 = 0 } \\ { 2 x + y - 8 = 0 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=2$$

$$y=4$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x-y-2=0,2x+y-8=0$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x-y-2=0$$

Leggðu 2 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x-y=2$$

Leggðu y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=y+2$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+2\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum y+2.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}$$

Settu \frac{2+y}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x+y-8=0.

$$2\left(\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\right)+y-8=0$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{2+y}{3}.

$$\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}+y-8=0$$

Leggðu \frac{2y}{3} saman við y.

$$\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}-8=0$$

Leggðu \frac{4}{3} saman við -8.

$$\frac{5}{3}y-\frac{20}{3}=0$$

Leggðu \frac{20}{3} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{5}{3}y=\frac{20}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{5}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=4$$

Skiptu 4 út fyrir y í x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{1}{3}\times 4+\frac{2}{3}$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum 4.

$$x=\frac{4+2}{3}$$

Leggðu \frac{2}{3} saman við \frac{4}{3} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2,y=4$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x-y-2=0,2x+y-8=0$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&-1\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{3-\left(-2\right)}&\frac{3}{3-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{2}{5}&\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 2+\frac{1}{5}\times 8\\-\frac{2}{5}\times 2+\frac{3}{5}\times 8\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=2,y=4$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x-y-2=0,2x+y-8=0$$

Til að gera 3x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$2\times 3x+2\left(-1\right)y+2\left(-2\right)=0,3\times 2x+3y+3\left(-8\right)=0$$

Einfaldaðu.

$$6x-2y-4=0,6x+3y-24=0$$

Dragðu 6x+3y-24=0 frá 6x-2y-4=0 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$6x-6x-2y-3y-4+24=0$$

Leggðu 6x saman við -6x. Liðirnir 6x og -6x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-2y-3y-4+24=0$$

Leggðu -2y saman við -3y.

$$-5y-4+24=0$$

Leggðu -4 saman við 24.

$$-5y+20=0$$

Dragðu 20 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-5y=-20$$

Deildu báðum hliðum með -5.

$$y=4$$

Skiptu 4 út fyrir y í 2x+y-8=0. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x+4-8=0$$

Leggðu 4 saman við -8.

$$2x-4=0$$

Leggðu 4 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=4$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2,y=4$$