Leysa {l}{3x-y=17}{-x+y=-7}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - y = 17 } \\ { - x + y = - 7 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=5$$

$$y=-2$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x-y=17,-x+y=-7$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x-y=17$$

Leggðu y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=y+17$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+17\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum y+17.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{17}{3}$$

Settu \frac{17+y}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, -x+y=-7.

$$-\left(\frac{1}{3}y+\frac{17}{3}\right)+y=-7$$

Margfaldaðu -1 sinnum \frac{17+y}{3}.

$$-\frac{1}{3}y-\frac{17}{3}+y=-7$$

Leggðu -\frac{y}{3} saman við y.

$$\frac{2}{3}y-\frac{17}{3}=-7$$

Leggðu \frac{17}{3} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{2}{3}y=-\frac{4}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{2}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-2$$

Skiptu -2 út fyrir y í x=\frac{1}{3}y+\frac{17}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2\right)+\frac{17}{3}$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -2.

$$x=\frac{-2+17}{3}$$

Leggðu \frac{17}{3} saman við -\frac{2}{3} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=5$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=5,y=-2$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x-y=17,-x+y=-7$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\-7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&-1\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-7\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-7\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{3-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{3}{3-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-7\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 17+\frac{1}{2}\left(-7\right)\\\frac{1}{2}\times 17+\frac{3}{2}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=5,y=-2$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x-y=17,-x+y=-7$$

Til að gera 3x og -x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$-3x-\left(-y\right)=-17,3\left(-1\right)x+3y=3\left(-7\right)$$

Einfaldaðu.

$$-3x+y=-17,-3x+3y=-21$$

Dragðu -3x+3y=-21 frá -3x+y=-17 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-3x+3x+y-3y=-17+21$$

Leggðu -3x saman við 3x. Liðirnir -3x og 3x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$y-3y=-17+21$$

Leggðu y saman við -3y.

$$-2y=-17+21$$

Leggðu -17 saman við 21.

$$-2y=4$$

Deildu báðum hliðum með -2.

$$y=-2$$

Skiptu -2 út fyrir y í -x+y=-7. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-x-2=-7$$

Leggðu 2 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-x=-5$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$x=5$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=5,y=-2$$