Leysa {l}{3x-y+2=0}{5x-2y+1=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - y + 2 = 0 } \\ { 5 x - 2 y + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-3$$

$$y=-7$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x-y+2=0,5x-2y+1=0$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x-y+2=0$$

Dragðu 2 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x-y=-2$$

Leggðu y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=y-2$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y-2\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum y-2.

$$x=\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}$$

Settu \frac{-2+y}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 5x-2y+1=0.

$$5\left(\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}\right)-2y+1=0$$

Margfaldaðu 5 sinnum \frac{-2+y}{3}.

$$\frac{5}{3}y-\frac{10}{3}-2y+1=0$$

Leggðu \frac{5y}{3} saman við -2y.

$$-\frac{1}{3}y-\frac{10}{3}+1=0$$

Leggðu -\frac{10}{3} saman við 1.

$$-\frac{1}{3}y-\frac{7}{3}=0$$

Leggðu \frac{7}{3} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-\frac{1}{3}y=\frac{7}{3}$$

Margfaldaðu báðar hliðar með -3.

$$y=-7$$

Skiptu -7 út fyrir y í x=\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7\right)-\frac{2}{3}$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -7.

$$x=\frac{-7-2}{3}$$

Leggðu -\frac{2}{3} saman við -\frac{7}{3} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-3,y=-7$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x-y+2=0,5x-2y+1=0$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&-1\\5&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfan \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-5\right)}&-\frac{-1}{3\left(-2\right)-\left(-5\right)}\\-\frac{5}{3\left(-2\right)-\left(-5\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\left(-2\right)-\left(-1\right)\\5\left(-2\right)-3\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-7\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-3,y=-7$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x-y+2=0,5x-2y+1=0$$

Til að gera 3x og 5x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 5 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$5\times 3x+5\left(-1\right)y+5\times 2=0,3\times 5x+3\left(-2\right)y+3=0$$

Einfaldaðu.

$$15x-5y+10=0,15x-6y+3=0$$

Dragðu 15x-6y+3=0 frá 15x-5y+10=0 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$15x-15x-5y+6y+10-3=0$$

Leggðu 15x saman við -15x. Liðirnir 15x og -15x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-5y+6y+10-3=0$$

Leggðu -5y saman við 6y.

$$y+10-3=0$$

Leggðu 10 saman við -3.

$$y+7=0$$

Dragðu 7 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$y=-7$$

Skiptu -7 út fyrir y í 5x-2y+1=0. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$5x-2\left(-7\right)+1=0$$

Margfaldaðu -2 sinnum -7.

$$5x+14+1=0$$

Leggðu 14 saman við 1.

$$5x+15=0$$

Dragðu 15 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$5x=-15$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=-3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-3,y=-7$$