Leysa {l}{3x-9=y}{9y+3=x}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 9 = y } \\ { 9 y + 3 = x } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=3$$

$$y=0$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu y frá báðum hliðum.

$$3x-9-y=0$$

Bættu 9 við báðar hliðar. Allt sem er lagt saman við núll skilar sjálfu sér.

$$3x-y=9$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu x frá báðum hliðum.

$$9y+3-x=0$$

Dragðu 3 frá báðum hliðum. Allt sem dregið er frá núlli skilar sjálfu sér sem mínustölu.

$$9y-x=-3$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x-y=9,-x+9y=-3$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x-y=9$$

Leggðu y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=y+9$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+9\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum y+9.

$$x=\frac{1}{3}y+3$$

Settu \frac{y}{3}+3 inn fyrir x í hinni jöfnunni, -x+9y=-3.

$$-\left(\frac{1}{3}y+3\right)+9y=-3$$

Margfaldaðu -1 sinnum \frac{y}{3}+3.

$$-\frac{1}{3}y-3+9y=-3$$

Leggðu -\frac{y}{3} saman við 9y.

$$\frac{26}{3}y-3=-3$$

Leggðu 3 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{26}{3}y=0$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{26}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=0$$

Skiptu 0 út fyrir y í x=\frac{1}{3}y+3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=3,y=0$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu y frá báðum hliðum.

$$3x-9-y=0$$

Bættu 9 við báðar hliðar. Allt sem er lagt saman við núll skilar sjálfu sér.

$$3x-y=9$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu x frá báðum hliðum.

$$9y+3-x=0$$

Dragðu 3 frá báðum hliðum. Allt sem dregið er frá núlli skilar sjálfu sér sem mínustölu.

$$9y-x=-3$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x-y=9,-x+9y=-3$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&-1\\-1&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{3\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{3\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{3\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{3}{3\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{26}&\frac{1}{26}\\\frac{1}{26}&\frac{3}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{26}\times 9+\frac{1}{26}\left(-3\right)\\\frac{1}{26}\times 9+\frac{3}{26}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=3,y=0$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu y frá báðum hliðum.

$$3x-9-y=0$$

Bættu 9 við báðar hliðar. Allt sem er lagt saman við núll skilar sjálfu sér.

$$3x-y=9$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu x frá báðum hliðum.

$$9y+3-x=0$$

Dragðu 3 frá báðum hliðum. Allt sem dregið er frá núlli skilar sjálfu sér sem mínustölu.

$$9y-x=-3$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x-y=9,-x+9y=-3$$

Til að gera 3x og -x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$-3x-\left(-y\right)=-9,3\left(-1\right)x+3\times 9y=3\left(-3\right)$$

Einfaldaðu.

$$-3x+y=-9,-3x+27y=-9$$

Dragðu -3x+27y=-9 frá -3x+y=-9 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-3x+3x+y-27y=-9+9$$

Leggðu -3x saman við 3x. Liðirnir -3x og 3x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$y-27y=-9+9$$

Leggðu y saman við -27y.

$$-26y=-9+9$$

Leggðu -9 saman við 9.

$$-26y=0$$

Deildu báðum hliðum með -26.

$$y=0$$

Skiptu 0 út fyrir y í -x+9y=-3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-x=-3$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$x=3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=3,y=0$$