Leysa {l}{3x-7y=2}{-5x+2y=-13}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 7 y = 2 } \\ { - 5 x + 2 y = - 13 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=3$$

$$y=1$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x-7y=2,-5x+2y=-13$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x-7y=2$$

Leggðu 7y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=7y+2$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(7y+2\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum 7y+2.

$$x=\frac{7}{3}y+\frac{2}{3}$$

Settu \frac{7y+2}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, -5x+2y=-13.

$$-5\left(\frac{7}{3}y+\frac{2}{3}\right)+2y=-13$$

Margfaldaðu -5 sinnum \frac{7y+2}{3}.

$$-\frac{35}{3}y-\frac{10}{3}+2y=-13$$

Leggðu -\frac{35y}{3} saman við 2y.

$$-\frac{29}{3}y-\frac{10}{3}=-13$$

Leggðu \frac{10}{3} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-\frac{29}{3}y=-\frac{29}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{29}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=1$$

Skiptu 1 út fyrir y í x=\frac{7}{3}y+\frac{2}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{7+2}{3}$$

Leggðu \frac{2}{3} saman við \frac{7}{3} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=3,y=1$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x-7y=2,-5x+2y=-13$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&-7\\-5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-13\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&-7\\-5&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\-5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-7\\-5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\-5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-13\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\-5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-13\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\-5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-13\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-7\left(-5\right)\right)}&-\frac{-7}{3\times 2-\left(-7\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{3\times 2-\left(-7\left(-5\right)\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-7\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-13\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{29}&-\frac{7}{29}\\-\frac{5}{29}&-\frac{3}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-13\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{29}\times 2-\frac{7}{29}\left(-13\right)\\-\frac{5}{29}\times 2-\frac{3}{29}\left(-13\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=3,y=1$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x-7y=2,-5x+2y=-13$$

Til að gera 3x og -5x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -5 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$-5\times 3x-5\left(-7\right)y=-5\times 2,3\left(-5\right)x+3\times 2y=3\left(-13\right)$$

Einfaldaðu.

$$-15x+35y=-10,-15x+6y=-39$$

Dragðu -15x+6y=-39 frá -15x+35y=-10 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-15x+15x+35y-6y=-10+39$$

Leggðu -15x saman við 15x. Liðirnir -15x og 15x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$35y-6y=-10+39$$

Leggðu 35y saman við -6y.

$$29y=-10+39$$

Leggðu -10 saman við 39.

$$29y=29$$

Deildu báðum hliðum með 29.

$$y=1$$

Skiptu 1 út fyrir y í -5x+2y=-13. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-5x+2=-13$$

Dragðu 2 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-5x=-15$$

Deildu báðum hliðum með -5.

$$x=3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=3,y=1$$