Leysa {l}{3x-5y=3}{4x+2y=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 5 y = 3 } \\ { 4 x + 2 y = 6 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{18}{13} = 1\frac{5}{13} \approx 1.384615385$$

$$y=\frac{3}{13}\approx 0.230769231$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x-5y=3,4x+2y=6$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x-5y=3$$

Leggðu 5y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=5y+3$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y+3\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum 5y+3.

$$x=\frac{5}{3}y+1$$

Settu \frac{5y}{3}+1 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 4x+2y=6.

$$4\left(\frac{5}{3}y+1\right)+2y=6$$

Margfaldaðu 4 sinnum \frac{5y}{3}+1.

$$\frac{20}{3}y+4+2y=6$$

Leggðu \frac{20y}{3} saman við 2y.

$$\frac{26}{3}y+4=6$$

Dragðu 4 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{26}{3}y=2$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{26}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{3}{13}$$

Skiptu \frac{3}{13} út fyrir y í x=\frac{5}{3}y+1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{5}{3}\times \frac{3}{13}+1$$

Margfaldaðu \frac{5}{3} sinnum \frac{3}{13} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{5}{13}+1$$

Leggðu 1 saman við \frac{5}{13}.

$$x=\frac{18}{13}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{18}{13},y=\frac{3}{13}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x-5y=3,4x+2y=6$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&-5\\4&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-5\times 4\right)}&-\frac{-5}{3\times 2-\left(-5\times 4\right)}\\-\frac{4}{3\times 2-\left(-5\times 4\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-5\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{5}{26}\\-\frac{2}{13}&\frac{3}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\times 3+\frac{5}{26}\times 6\\-\frac{2}{13}\times 3+\frac{3}{26}\times 6\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{13}\\\frac{3}{13}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{18}{13},y=\frac{3}{13}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x-5y=3,4x+2y=6$$

Til að gera 3x og 4x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 4 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$4\times 3x+4\left(-5\right)y=4\times 3,3\times 4x+3\times 2y=3\times 6$$

Einfaldaðu.

$$12x-20y=12,12x+6y=18$$

Dragðu 12x+6y=18 frá 12x-20y=12 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$12x-12x-20y-6y=12-18$$

Leggðu 12x saman við -12x. Liðirnir 12x og -12x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-20y-6y=12-18$$

Leggðu -20y saman við -6y.

$$-26y=12-18$$

Leggðu 12 saman við -18.

$$-26y=-6$$

Deildu báðum hliðum með -26.

$$y=\frac{3}{13}$$

Skiptu \frac{3}{13} út fyrir y í 4x+2y=6. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$4x+2\times \frac{3}{13}=6$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{3}{13}.

$$4x+\frac{6}{13}=6$$

Dragðu \frac{6}{13} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4x=\frac{72}{13}$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=\frac{18}{13}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{18}{13},y=\frac{3}{13}$$