Leysa {l}{3x-5y=-6}{2x-3y=-5}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 5 y = - 6 } \\ { 2 x - 3 y = - 5 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-7$$

$$y=-3$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x-5y=-6,2x-3y=-5$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x-5y=-6$$

Leggðu 5y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=5y-6$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y-6\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum 5y-6.

$$x=\frac{5}{3}y-2$$

Settu \frac{5y}{3}-2 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x-3y=-5.

$$2\left(\frac{5}{3}y-2\right)-3y=-5$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{5y}{3}-2.

$$\frac{10}{3}y-4-3y=-5$$

Leggðu \frac{10y}{3} saman við -3y.

$$\frac{1}{3}y-4=-5$$

Leggðu 4 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{1}{3}y=-1$$

Margfaldaðu báðar hliðar með 3.

$$y=-3$$

Skiptu -3 út fyrir y í x=\frac{5}{3}y-2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{5}{3}\left(-3\right)-2$$

Margfaldaðu \frac{5}{3} sinnum -3.

$$x=-5-2$$

Leggðu -2 saman við -5.

$$x=-7$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-7,y=-3$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x-5y=-6,2x-3y=-5$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&-5\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{-5}{3\left(-3\right)-\left(-5\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\left(-3\right)-\left(-5\times 2\right)}&\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-5\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&5\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\left(-6\right)+5\left(-5\right)\\-2\left(-6\right)+3\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-3\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-7,y=-3$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x-5y=-6,2x-3y=-5$$

Til að gera 3x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$2\times 3x+2\left(-5\right)y=2\left(-6\right),3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\left(-5\right)$$

Einfaldaðu.

$$6x-10y=-12,6x-9y=-15$$

Dragðu 6x-9y=-15 frá 6x-10y=-12 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$6x-6x-10y+9y=-12+15$$

Leggðu 6x saman við -6x. Liðirnir 6x og -6x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-10y+9y=-12+15$$

Leggðu -10y saman við 9y.

$$-y=-12+15$$

Leggðu -12 saman við 15.

$$-y=3$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$y=-3$$

Skiptu -3 út fyrir y í 2x-3y=-5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x-3\left(-3\right)=-5$$

Margfaldaðu -3 sinnum -3.

$$2x+9=-5$$

Dragðu 9 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-14$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=-7$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-7,y=-3$$