Leysa {l}{3x-5y=-16}{2x+5y=31}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 5 y = - 16 } \\ { 2 x + 5 y = 31 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=3$$

$$y=5$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x-5y=-16,2x+5y=31$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x-5y=-16$$

Leggðu 5y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=5y-16$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y-16\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum 5y-16.

$$x=\frac{5}{3}y-\frac{16}{3}$$

Settu \frac{5y-16}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x+5y=31.

$$2\left(\frac{5}{3}y-\frac{16}{3}\right)+5y=31$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{5y-16}{3}.

$$\frac{10}{3}y-\frac{32}{3}+5y=31$$

Leggðu \frac{10y}{3} saman við 5y.

$$\frac{25}{3}y-\frac{32}{3}=31$$

Leggðu \frac{32}{3} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{25}{3}y=\frac{125}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{25}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=5$$

Skiptu 5 út fyrir y í x=\frac{5}{3}y-\frac{16}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{5}{3}\times 5-\frac{16}{3}$$

Margfaldaðu \frac{5}{3} sinnum 5.

$$x=\frac{25-16}{3}$$

Leggðu -\frac{16}{3} saman við \frac{25}{3} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=3,y=5$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x-5y=-16,2x+5y=31$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-16\\31\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&-5\\2&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\31\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\31\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\31\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{-5}{3\times 5-\left(-5\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\times 5-\left(-5\times 2\right)}&\frac{3}{3\times 5-\left(-5\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\31\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{2}{25}&\frac{3}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\31\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\left(-16\right)+\frac{1}{5}\times 31\\-\frac{2}{25}\left(-16\right)+\frac{3}{25}\times 31\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=3,y=5$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x-5y=-16,2x+5y=31$$

Til að gera 3x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$2\times 3x+2\left(-5\right)y=2\left(-16\right),3\times 2x+3\times 5y=3\times 31$$

Einfaldaðu.

$$6x-10y=-32,6x+15y=93$$

Dragðu 6x+15y=93 frá 6x-10y=-32 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$6x-6x-10y-15y=-32-93$$

Leggðu 6x saman við -6x. Liðirnir 6x og -6x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-10y-15y=-32-93$$

Leggðu -10y saman við -15y.

$$-25y=-32-93$$

Leggðu -32 saman við -93.

$$-25y=-125$$

Deildu báðum hliðum með -25.

$$y=5$$

Skiptu 5 út fyrir y í 2x+5y=31. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x+5\times 5=31$$

Margfaldaðu 5 sinnum 5.

$$2x+25=31$$

Dragðu 25 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=6$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=3,y=5$$