Leysa {l}{3x-4y=16}{2x-3y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 4 y = 16 } \\ { 2 x - 3 y = 10 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=8$$

$$y=2$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x-4y=16,2x-3y=10$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x-4y=16$$

Leggðu 4y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=4y+16$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(4y+16\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum 16+4y.

$$x=\frac{4}{3}y+\frac{16}{3}$$

Settu \frac{16+4y}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x-3y=10.

$$2\left(\frac{4}{3}y+\frac{16}{3}\right)-3y=10$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{16+4y}{3}.

$$\frac{8}{3}y+\frac{32}{3}-3y=10$$

Leggðu \frac{8y}{3} saman við -3y.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{32}{3}=10$$

Dragðu \frac{32}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{2}{3}$$

Margfaldaðu báðar hliðar með -3.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í x=\frac{4}{3}y+\frac{16}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{4}{3}\times 2+\frac{16}{3}$$

Margfaldaðu \frac{4}{3} sinnum 2.

$$x=\frac{8+16}{3}$$

Leggðu \frac{16}{3} saman við \frac{8}{3} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=8$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=8,y=2$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x-4y=16,2x-3y=10$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&-4\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\10\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\10\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{-4}{3\left(-3\right)-\left(-4\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\left(-3\right)-\left(-4\times 2\right)}&\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-4\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\10\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 16-4\times 10\\2\times 16-3\times 10\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=8,y=2$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x-4y=16,2x-3y=10$$

Til að gera 3x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$2\times 3x+2\left(-4\right)y=2\times 16,3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 10$$

Einfaldaðu.

$$6x-8y=32,6x-9y=30$$

Dragðu 6x-9y=30 frá 6x-8y=32 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$6x-6x-8y+9y=32-30$$

Leggðu 6x saman við -6x. Liðirnir 6x og -6x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-8y+9y=32-30$$

Leggðu -8y saman við 9y.

$$y=32-30$$

Leggðu 32 saman við -30.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í 2x-3y=10. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x-3\times 2=10$$

Margfaldaðu -3 sinnum 2.

$$2x-6=10$$

Leggðu 6 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=16$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=8$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=8,y=2$$