Leysa {l}{3x-4y=-6}{2x+4y=16}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 4 y = - 6 } \\ { 2 x + 4 y = 16 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=2$$

$$y=3$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x-4y=-6,2x+4y=16$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x-4y=-6$$

Leggðu 4y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=4y-6$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(4y-6\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum 4y-6.

$$x=\frac{4}{3}y-2$$

Settu \frac{4y}{3}-2 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x+4y=16.

$$2\left(\frac{4}{3}y-2\right)+4y=16$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{4y}{3}-2.

$$\frac{8}{3}y-4+4y=16$$

Leggðu \frac{8y}{3} saman við 4y.

$$\frac{20}{3}y-4=16$$

Leggðu 4 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{20}{3}y=20$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{20}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=3$$

Skiptu 3 út fyrir y í x=\frac{4}{3}y-2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{4}{3}\times 3-2$$

Margfaldaðu \frac{4}{3} sinnum 3.

$$x=4-2$$

Leggðu -2 saman við 4.

$$x=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2,y=3$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x-4y=-6,2x+4y=16$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&-4\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\16\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&-4\\2&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-4\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\16\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\16\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\16\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{-4}{3\times 4-\left(-4\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\times 4-\left(-4\times 2\right)}&\frac{3}{3\times 4-\left(-4\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\16\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{1}{10}&\frac{3}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\16\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\left(-6\right)+\frac{1}{5}\times 16\\-\frac{1}{10}\left(-6\right)+\frac{3}{20}\times 16\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=2,y=3$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x-4y=-6,2x+4y=16$$

Til að gera 3x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$2\times 3x+2\left(-4\right)y=2\left(-6\right),3\times 2x+3\times 4y=3\times 16$$

Einfaldaðu.

$$6x-8y=-12,6x+12y=48$$

Dragðu 6x+12y=48 frá 6x-8y=-12 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$6x-6x-8y-12y=-12-48$$

Leggðu 6x saman við -6x. Liðirnir 6x og -6x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-8y-12y=-12-48$$

Leggðu -8y saman við -12y.

$$-20y=-12-48$$

Leggðu -12 saman við -48.

$$-20y=-60$$

Deildu báðum hliðum með -20.

$$y=3$$

Skiptu 3 út fyrir y í 2x+4y=16. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x+4\times 3=16$$

Margfaldaðu 4 sinnum 3.

$$2x+12=16$$

Dragðu 12 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=4$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2,y=3$$